Bonjour,

le mieux est de chercher séparément l'exposant de 2 et de 3
on aura alors 50! = 2^a.3^b....
et l'exposant de 6 est le plus petit de a et b.

chaque exposant s'obtient par une méthode dite "d'inclusion exclusion"

on compte les multiples de 2 (facile tous les nombres pairs)
les multiples de 2^2 (de 4)
les multiples de 2^3 (de 8) etc ...

et ensuite on combine tous ça en évitant de compter deux fois les mêmes nombres
(les multiples de 4 sont trouvés deux fois : en tant que multiples de 2 et en tant que multiples de 4

multiples de 2 = n₂
multiples de 4 = n₄
multiples de 2 seulement (et pas de 4) = n₂ - n₄

exposant total de 2 si on s'arrêtait la :
(n₂-n₄) + 2n₄

poursuivre ce raisonnement avec les multiples de 8 etc

puis faire pareil pour l'exposant de 3.

(on peut fortement suspecter que l'exposant de 2 sera supérieur à l'exposant de 3, donc le plus petit des deux sera l'exposant de 3)

Ah merci beaucoup j'avais effectivement oublier ça , par conséquent je n'avais pas compter 18 par exemple qui est égale à 9x2 = 3.3.2 . Il y a donc 2 3 ici , je n'en comptais que 1 .  avec les autres oublis ça me fait bien 22 , merci beaucoup

Par contre je n'ai pas très bien compris pour la suite , avec 8 par exemple pour les exposants de 2 ( bien que c'est inutile ) , on fera : (n2-n4)+2n4+3n8 ? Merci beaucoup pour vos explications !

la méthode pour l'exposant de 3 est exactement la même que pour les exposants de 2 ou de n'importe quel facteur premier de n!

"avec 8 ..." pas vraiment
parce que les multiples de 8 ont déja été comptés dans les multiples de 2 et dans les multiples de 4 !

donc multiples de 2 seulement (ni de 4 ni de 8) : n₂ - n₄ - n₈
multiples de 4 seulement (et pas de 8) : n₄ - n₈
multiples de 8 : n₈

exposant total :
(n₂ - n₄ - n₈) + 2(n₄ - n₈) + 3n₈

etc (jusque aux multiples de 32 qui est la plus grande puissance de 2 < 50)

le but est de prouver que au final :
l'exposant de 2 est la somme du nombre (brutal) de multiples de 2, plus le nombre (brutal) de multiples de 4, plus le nombre (brutal) de multiples de 8 etc.
sans se poser de questions du coup à propos de ceux qui sont comptés plusieurs fois là dedans, ce qui n'était pas "évident" du tout à priori.

ce qui donne E[50/2] + E[50/4]+ E[50/8] + E[50/16] + E[50/32]
E[..] voulant dire "la partie entière de"
et donc l'exposant de 2 est 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47

on aboutit donc à exposant de 3 (raisonnement identique)
E[50/3] + E[50/9] + E[50/27] = 16 + 5 + 1 = 22

sans chercher de façon compliquée à risquer d'en oublier...
le raisonnement, il a été fait "globalement"

on a ainsi 50! = 2^47 * 3^22 * 5^...
un logiciel de calcul formel confirme bien ces valeurs
par exemple avec Xcas la commande ifactor(50!) donne bien ces exposants là :

2^47 * 3^22 * 5^12 * 7^8 * 11^4 * 13^3 * 17^2 * 19^2 * 23^2 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47

Ah oui je comprends mieux maintenant , merci beaucoup