salut

en posant   ABC = AB + BA  + AC + CA + BC + CB   on a :

11.(A + B + C )= 100.A + 10.B + C     avec    A+B+C 27

rectification , j'ai oublié d'ecrire le facteur 2
en posant   2.ABC = AB + BA  + AC + CA + BC + CB   on a :

11.(A + B + C )= 100.A + 10.B + C     avec    A+B+C 27

  on a donc ABC divisible par  11 si la  difference entre la somme des chiffres de rang pair
et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11

..je trouve  N = 198

...la contrainte  la  difference entre la somme des chiffres de rang pair
et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11  se traduit par  
B = (A + C)+ 11.k   mais comme  B 9   impose k = 0 du coup
B = A +C

Merci beaucoup pour votre réponse ! Bravo la réponse est bien 198  , mais je n'ai rien compris

ABC = AB + BA  + AC + CA + BC + CB

Pourquoi ? Je pense comprendre que ABC est N donc A B et C sont les chiffres de N
Mais la droite de l'égalité comment vous l'a trouvé ? Je suis un perdu désolé , vous pourriez détailler ? merci beaucoup et encore désolé

la somme de tous les nombres à deux chiffres formés avec deux chiffres distincts de N veut dire tout simplement  AB + BA  + AC + CA + BC + CB

AB n'etant pas la meme chose que BA , idem pour les autres ...

Merci beaucoup pour votre réponse , ah bon pourquoi ?  Pourquoi cette phrase veut dire AB+BA + AC +CA +BC+CB

Et ensuite vous avez écrit ça :

11.(A + B + C )= 100.A + 10.B + C     avec    A+B+C /<27

Pourquoi à nouveau ? Je comprends vraiment pas
Merci beaucoup et désolé

Je crois comprendre que 100.A + 10.B+C , c'est pour dire le chiffre de dizaine etc etc , mais le 11.(A+B+C ) je ne comprends pas , merci beaucoup et encore désolé

Bonjour,

AB c'est pour 10.A + B etc (le nombre qui s'écrit AB, pas A multiplié par B)

et faut juste écrire tout et simplifier, c'est tout.
10.A + B + 10.B + A + etc

Ah d'accord je comprends beaucoup mieux maintenant , juste quelque question :

A,B,C sont bien les chiffres de N non ? Alors pourquoi dire : A+B+C /< 27 ?
c'est pas plus tôt /<24 ? Car N est composé de 3 chiffres distincts , ensuite je suis bloqué à :

100A+10B+C = 11A+11B+11C
Comment on trouve N ? ( En trichant un peu je vois que A=1 , B = 9 et C =8 marche , mais je connaissais déjà la réponse ) Merci beaucoup !

oui, on peut limiter d'avantage à A+B+C ≤ 24 mais comme ≤ 27 suffisait au raisonnement ...
et même ça, ça ne sert pas vraiment.

N = 11(A+B+C) est un multiple de 11

ensuite on connait son critère de divisibilité d'un nombre par 11 :
si la somme des chiffres de rang pairs moins la somme des chiffre de rang impair est un multiple de 11
démonstration 10 = 11 - 1, 100 = 9*11 + 1 etc et on factorise ce qu'on peut)

ici cela veut donc dire que A+C - B est un multiple de 11 c'est à dire B = A+C + 11k etc (flight)
ensuite on combine
100A + 10B + C = 11A + 11B + 11C avec B = A+C

cela donne une relation entre A et C d'où on déduit la seule valeur possible de C entre 0 et 9 pour que A soit entre 0 et 9 et différent de C
et donc A, puis B = A+C

Ah d'accord ! C'est beaucoup plus clair maintenant , je ne connaissais pas les critères de divisibilité par 11 , merci beaucoup !

Ensuite , flight avait dit ça :
la somme de tous les nombres à deux chiffres formés avec deux chiffres distincts de N veut dire tout simplement  AB + BA  + AC + CA + BC + CB

Mais on sait que N = ABC , alors pourquoi on garde les même lettre en haut ?  Vu que ce sont des chiffres distincts ?  C'est le seul petit truc qui m'empêche de bien comprendre tout l'exercice , je sais le faire mais en partant de cette égalité comme donné , je veux savoir le faire seul et bien le comprendre
Merci beaucoup et désolé pour ces nombreuses questions , on peut dire que cet exercice qui est quand même simple au fond m'aura donné du fil à retordre ...

je ne comprends vraiment pas ce qui te chagrine la dedans

par exemple N = ABC = 123 c'est à dire A = 1, B = 2 et C = 3 (c'est les chiffres de N)

AB c'est 12, BA c'est 21, AC c'est 13, etc tous les nombres de deux chiffres qu'on peut écrire avec les chiffres 1, 2, 3 (A, B, C)
il y en a 6 distincts (distincts puisque A, B, C sont distincts)

et ce que dit l'énoncé c'est que le nombre 123 est le double de 12 + 21 + 13 + .. (de la somme des six)

évidemment avec 123 ça ne marche pas, c'est juste un exemple pour illustrer.

nota : savoir le critère de divisibilité par 11 permet juste de gagner du temps

sinon N = ABC = 100A + 10 B + C = 99A + A + 11B - B + C = 11(9A + B) + A - B + C est multiple de 11 si et seulement si A - B + C l'est
et le tour est joué
on a "redémontré" le critère dans le cas qui nous intéresse.

Oui j'avais bien compris ça en fait mon problème vient plus tôt de la compréhension de l'énoncé :

Quel est le nombre entier N à trois chiffres différents , si la somme de tous les nombres à deux chiffres formés avec deux chiffres distincts de N vaut le double de N ?

Je comprends : Si N = ABC = 123
45+54+65.... = 2 N , ce n'est pas le cas ? Car on dit : La somme de tous les nombres à deux chiffres formés avec deux chiffres distincts de N , donc quand je fais le calcul je fais : ABC = DE + ED +...
C'est écrit que les chiffres sont distincts des chiffres de N , alors pourquoi on les reprends ? Comment comprenez vous l'énoncé , c'est le truc qui me perturbe depuis le début mais je ne savais pas comment l'expliquer Merci beaucoup

avec 123 comme nombre N
les nombres à deux chiffres qu'on peut former avec les chiffres de N (pas avec d'autres chiffres )
sont :
12, 21
13, 31
23, 32

mais pas 11 ni 22 ni 33 (car deux fois le même chiffre, ils ne seraient pas distincts)
les chiffres de N qui sont distincts.
pas les chiffres qui sont différents de ceux de N !!

Alors là j'ai bien rigolé en ayant vu ma faute , effectivement j'avais lu ça comme : chiffres formés de deux chiffres [distincts de N ] et non [deux chiffres distincts ] de N , quelque chose de comme ça en gros , merci beaucoup et encore désolé