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On se propse de calculer une limite

Posté par
Amarouche1 28-12-20 à 19:13

Bonsoir,
On se propose de calculer  la limite  de \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}}
[/tex] lorsque n tend vers + .  pour1 on pose : Sn = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}} ,  Un=2\sqrt{n}-Sn ,  Vn=2\sqrt{n+1}-Sn
1)Montrer que lim Sn = +
2)Montrer que les suites (Un)_{n\geq 1} et (Vn)_{n\geq 1} sont adjacentes de limite commune L1
3)Calculer lim (\frac{Sn}{n}) et lim (\frac{Sn}{\sqrt{n}})
4) Deduire de ce qui precede la valeur de : lim ( \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}})
Je calculer sur 3) et 4) .

Posté par
Amarouche1re : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 19:14

je *bloque* sur 3) et 4) .

Posté par
Zormuchere : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 19:22

Bonsoir

Tu peux utiliser la propriété  S_n=2\sqrt{n}-u_n

Posté par
carpediemre : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 19:45

ne serait-ce pas la suite voire même le même sujet que deduire la limite d'une suite

et donc du multi-post ? ...

Posté par
Amarouche1re : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 19:53

carpediem @ 28-12-2020 à 19:45

ne serait-ce pas la suite voire même le même sujet que deduire la limite d'une suite

et donc du multi-post ? ...
Non c'est autre enonce

Posté par
Amarouche1re : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 20:02

Zormuche @ 28-12-2020 à 19:22

Bonsoir

Tu peux utiliser la propriété  S_n=2\sqrt{n}-u_n
oui tout a fait et j'obtiens  lim\frac{Sn}{n}=0 et lim\frac{Sn}{\sqrt{n}}=2 non ?

Posté par
Amarouche1re : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 20:10

pour la derniere question je n'arrive pas a faire le lien avec ce qui precede ...

Posté par
Amarouche1re : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 21:23

4) on a lim ( \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{n+k}}}) = lim (lim ( \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{n+1}^{2n}{\frac{1}{\sqrt{t}}})=lim ( \frac{1}{\sqrt{n}}((\sum_{1}^{2n}{\frac{1}{\sqrt{k}}})-(\sum_{1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}})))
lim ( \frac{1}{\sqrt{n}}(\sum_{1}^{2n}{\frac{1}{\sqrt{k}}})-\frac{1}{\sqrt{n}}(\sum_{1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}})) et d'apres la questio precedente on trouve L=2-2=0
c'est juste ?

Posté par
Amarouche1re : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 21:36

j'ai recalcule lim (\frac{S_{2n}}{n})
et j'ai trouve 2\sqrt{2} m pour \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} c'est deja calculer dans 3) alors elle vaut 2
donc on trouve L=2\sqrt{2}-2 non ?

Posté par
Zormuchere : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 22:06

c'est bon

pour mieux t'y retrouver, tu pouvais écrire que \dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+n}}~=~\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(S_{2n}-S_n\right)~=~\sqrt{2}\dfrac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}-\dfrac{S_n}{\sqrt{n}}

Posté par
Zormuchere : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 22:07

là, on voit tout de suite la limite  2\sqrt{2}-2

Posté par
Amarouche1re : On se propse de calculer une limite 28-12-20 à 22:15

Merci infiniment!


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