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Optimisation

Posté par os2 (invité) 12-06-05 à 19:34

salut


Soit P0, un point de l'espace et soit P un plan de l'espace. Considérons le point P^* qui est le plus rapproché de P0. Le point P^* correspond à la solution du problèmes d'optimisation suivant:

minimiser d(x,y,z) s.c ax+by+cz=d

Considérons le point P0=(1,2,-1) et le Plan P d'équation ex-y-7z=0. Trouver le point P* et en déduire la distance entre P0 et P

voici ma démarche

Po=(1,2,-1) et le plan P 3x-y-7z=0

d= racine( (x-1)^2  + (y-2)^2 + (z+1)^2

si (x^*,y^*,z^*) appartient à 3x-y-7z=0

alors z =(3x-y) /7

d^2 = (x-1)^2  + (y-2)^2 + ((3x-y) /7)^2

f'x= (116x)/49 - (6y)/49 -2

f'y= (100y)/49 -  (6x)/49-4

on trouve pour f'x et f'y que x =56/59 et que y=119/59

f''xx= 116/49
f''yy=100/49

f''xy=-6/49

d(x,y)=116/49 * 100/49 - (-6/49)^2 = 236/49

P^*=(56/59, 119/59)

d=1/59


c'est bon?

Posté par
muriel Correcteur
re : Optimisation 12-06-05 à 20:32

bonjour ,
je connais pas trop ta méthode, moi j'ai utilisé le vecteur normal du plan (P)
et je ne trouve pas le même résultat (au passage, ton point P* ne peut pas être définit par 2 coordonnées, il manque la 3ème, je pense )

soit \vec{n}\(3\\-1\\-7\) un vecteur normal de (P)
||\vec{n}||=\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59}
il existe un réel k tel que :
\vec{P_0P^*}\;=\;k\;\times\;\vec{n}

tu traduis cela en terme de coordonnées et tu as:
\{x-1\;=\;3k\\y-2\;=\;-k\\z-1\;=\;-7k
c'est à dire:
\{x\;=\;3k+1\\y\;=\;-k+2\\z\;=\;-7k+1

de plus x; y et z vérifient l'équation 3x-y-7z=0
d'où
tu peux trouver k=\frac{6}{59}
ainsi tu arrives à trouver les coordonnées de P*

je te laisse finir

Posté par os2 (invité)re : Optimisation 12-06-05 à 22:33

j'ai vu une erreur après quelques relecture

* d^2 = (x-1)^2 *+ (y-2)^2 + ((3x-y)/7 +1)^2

f'x=116x/49 -6y/49 -8/7

f'y=100y/49-6x/49-30/7

après le solve:

x = 35/59
y=126/59

la distance est: 8/racine(59);

tu sembles avoir trouvé une distance de racine (59)?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Optimisation 13-06-05 à 09:12

A) Par la méthode de os2

P*(X ; Y ; (3X-Y)/7)

d² = (X-1)² + (Y-2)² + [(3X-Y)/7 +1]²

f(X;Y) = (X-1)² + (Y-2)² + [(3X-Y)/7 +1]²


j'écris df/dX  et df/dy mais il s'agit de dérivées partielles.

df/dX = 0 et df/dy = 0, donnent:

58X - 28 - 3Y = 0
50Y - 105 - 3X = 0

58X - 3Y = 28
3X - 50Y = -105

174X - 9Y = 84
174X - 2900Y = -6090

2891Y = 6174
Y = 6174/2891
Y = 126/59

X = [-105 + (50*126/59)]/3
X = 35/59

Donc s'il y a un extrema pour d², c'est pour X = 35/59 et Y=126/59
Dans le cas particulier de l'exercice, il est évident qu'il y a bien un extrema et que c'est un minimum et donc pas besoin de le démontrer.

Z = (3X-Y)/7 = [(3*35/59)-(126/59)]/7
Z = -3/59

On a donc P*(35/59 ; 126/59 ; -3/59)

d² = (X-1)² + (Y-2)² + (Z +1)²

d² = (24/59)² + (8/59)² + (56/59)²

d² = (1/59)².(24²+8²+56²) = 3776/59² = 64/59

d = 8/V59
-----
B) Par la méthode de muriel.

Recopier ce que muriel a fait à 1 erreur près.

muriel a écrit z-1 = -7k au lieu de z+1=-7k

En tenant compte de cette correction, il vient k = -8/59

Et on trouve alors x = 35/59, y = 126/59 et z = -3/59

On a donc bien les mêmes résultats par les 2 méthodes.
-----
Sauf distraction.  

Posté par
muriel Correcteur
re : Optimisation 13-06-05 à 11:57

merci J-P
(c'était une erreur de recopiage )



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