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Optimisation - TS
Bonjour,
La Gouttière :
1) - Contre la façade rectangulaire ABCD, on désire plaçer une gouttière en forme de Y pour évacuer les eaux de pluie recueullies en C et en D. I est le milieu de [AB]
Où doit-on plaçer M pour que la longeur du tuyeau soit minimale ? ( On néglige l'epaisseur du tuyeau )
Le point M est le point d'intersection entre les " 2 branches " du Y et "le pied" du Y
Sans la figure c'est vraiment dure mais j'espere que sa ira pour vous
donc on nous prpose deux méthodes pour résoudre cet exercice:
-Méthode 1 ) On pose x=HM , h=AD et d=AI
Exprimer la longueur f(x) du tuyeau en fonction de x et resoudre le problème
On montrera que f atteint son minimpum pour une valeure x0 independante de h.
Pour ici pas de problème on étudié les varitations de f en passant par sa derivée et le minimum x0 est atteint pour f' ( x ) = 0
-Méthode 2 ) Résoudre ce problème en utilisant la variable alpha = angle HDM aorès avoir exprimé la logeur g ( alpha ) du tuyeau
Ici j'ai un problème pour exprimé g ( alpha )
pour le triangle formé par les 2 branches du Y et la droite (DC) on applique les formules trigonométrique , mais pour le reste du tuyeau je bloque , merci de m'aider
TUYAU (sans E) 
1)
Il n'est pas dit que le pied du tuyau arrive en I, on peut cependant montrer que c'est là qu'il doit être pour avoir le tuyau minimum quelle que soit la hauteur de M.
Tu parles de H, mais il n'est défini nulle part.
Au pif, je mets H au milieu de [DC], si ce n'est pas cela, tant pis.
Pythagore dans le triangle DHM:
DM²=DH²+HM²
DM² = d² + x²
DM = V(d²+x²) (V pour racine carrée).
Calcul identique pour MC ->
MC = V(d²+x²)
MI = h - x
La longueur totale du tuyau = MI + DM + MC = h-x + 2V(d²+x²)
f(x) = h-x + 2V(d²+x²)
f '(x) = -1 + (2x/V(d²+x²))
f '(x) = 0 pour (2x/V(d²+x²)) = 1
2x = V(d²+x²)
4x² = d² + x²
3x² = d²
x = d/V3
f '(x) < 0 pour x dans [0 ; d/V3[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = d/V3
f '(x) > 0 pour x > d/V3 -> f(x) croissante.
f(x) est minimum pour x = d/V3 (indépendant de h, pour autant que h >= d/V3, sinon ... il faudra creuser dans la terre 
)
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2)
DH = DM.cos(alpha)
DM = d/cos(alpha)
On a aussi: MC = d/cos(alpha)
HM = DH.tg(alpha)
HM = d.tg(alpha)
MI = HI-HM = h-d.tg(alpha)
La longueur totale du tuyau = MI + DM + MC = h-d.tg(alpha) + 2.d/cos(alpha)
g(alpha) = h-d.tg(alpha) + 2.d/cos(alpha)
g'(alpha) = -d/cos²(alpha) + 2sin(alpha).d/cos²(alpha)
g'(alpha) = d/cos²(alpha) .[-1+2sin(alpha)]
d/cos²(alpha) > 0 (angle interdit: alpha = Pi/2)
-> g'(alpha) a le signe de [-1+2sin(alpha)]
g'(alpha) < 0 pour alpha dans [0 ; Pi/3[ -> g(alpha) est d²croissante.
g'(alpha) = 0 pour alpha = Pi/3
g'(alpha) > 0 pour alpha dans ]Pi/3 ; pi/2[ -> g(alpha) est croissante.
g(alpha) est minimum pour alpha = Pi/3
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On a alors x = HM = d.tg(Pi/3) = d/V3
Et le miracle est accompli, on retrouve la même solution que par l'autre méthode.
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Sauf distraction. 
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