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Niveau Maths sup
ordre d'un élément ==> arithmétique
Posté par karim
Bonjour,
Sur mon DM je ne réussis pas à montrer l'ordre de certains éléments. En effet, e est l'ordre d'un élément x modulo N, est défini par le plus petit élément vérifiant: x^e=1 [N]. J'ai commencé par montrer que S'il existe k tel que :
x^k=1 [N] alors e divise pas k (pas de problème)
Mais la ou j'ai coincé, c'est pour montrer ce qui suit:
Soient x et y deux éléments premiers avec N d'ordres respectifs a et b modulo N. Montrer que si a et b sont premiers entre eux, l'élément xy est d'ordre ab.
En fait j'ai réussi à montrer que (xy)^(ab) =1 [N], mais j'ai pas réussi qu'il s'agit de l'ordre de xy modulo N.
NB : juste avant j'avais montrer que tout élément premier avec N vérifie: a^(f(n)) = 1 [N]. Il s'agit de l'indicatrice d'euler, ou f(n) est le cardinal des élément premier avec N appartenant à [|1,N-1|]. Je ne sais pas si ce résultat pourrais servir, mais je le dis comme même 
Pouvez-vous m'aider SVP sur cette question ?
Merci d'avance
Supposons que xyk=1. Il existe u et v tels que ua+vb=k. Alors xyk=xua+vbyua+vb=xvbyua=1. D'où xvb=y-ua Mais comme les ordres des éléments x et y sont premiers entre eux, ceci entraîne que xvb=1 et yua=1. Donc a divise vb d'où a divise v, de même b divise u et, au final k est multiple de ab.
Quand j'écris = je veux dire = modulo N, mais surtout = dans l'ensemble Z/NZ. Si tu n'as pas cet ensemble, il se peut que mon entraîne soit un peu aventureux!