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Ordre d'un élément et isomorphisme

Posté par
wewasejaxe
10-04-19 à 14:38

Bonjour,

Je bloque sur cet énoncé tout simple : Montrez que tout groupe à 3 éléments est isomorphe à  \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.

La correction dit : Un élément différent du neutre ne peut être d'ordre 2 il est donc d'ordre 3. Le groupe est donc isomorphe à \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.

Je comprends bien qu'un élement différent du neutre ne peut être d'ordre 2 car son ordre doit diviser l'ordre du groupe à savoir 3.
Mais quelle propriété permet de conclure ?
J'ai beau regarder mon cours ne vois pas le rapport entre l'ordre des éléments d'un groupe et le fait qu'il soit isomorphe à \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} ...
Merci pour votre aide

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 14:40

Bonjour

Soit \{e,a,b\} ton groupe, avec e élément neutre. Que peut bien valoir a^2? Fais la table de ce groupe, l'isomorphisme avec \Z/3\Z te sautera aux yeux!

Posté par
wewasejaxe
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 14:48

a^2 peut aussi bien valoir a que b que e non ?
Merci pour votre réponse

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 14:58

Non. D'abord on a forcément a^2\neq a, relation vérifiée seulement par e Si on avait a^2=e, alors a serait d'ordre 2, ce qui est exclu par le théorème de Lagrange. Donc a^2=b. Je te rappelle que dans un groupe d'ordre n on a toujours x^n=e pour tout x.

Je crois que maintenant tu peux compléter le tableau.

Posté par
wewasejaxe
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 15:07

D'accord donc j'ai ceci ? :

*eab
eeab
aaba*b
bbb*aa


et pour \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}
+012
0012
1123
2230

(je n'ai pas mis les barres sur les classes d'équivalence)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 15:09

Il te reste à exprimer ab et ba en fonction uniquement de a,b,c.

Posté par
wewasejaxe
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 15:13

ba = ab = e ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 15:16

Oui, mais tu as l'air de deviner. On a a^2=b, donc ab=ba=a^3=e.

Maintenant tu vois l'isomorphisme? (même, qu'il y en a deux!)

Posté par
wewasejaxe
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 15:22

Euhh bof .. je ne vois pas comment ça peut m'aider à trouver un isomorphisme

Posté par
Camélia Correcteur
re : Ordre d'un élément et isomorphisme 10-04-19 à 15:52

On a nécessairement f(e)=0. Ensuite, puisque injectif, f(a)\neq 0. Par exemple f(a)=1. Mais alors f(b)=f(a^2)=f(a)+f(a)=2. A toi de vérifier que c'est bien un isomorphisme!
Quel est l'autre?



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