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Orthogonalité dans l'espace/Repère
Bonjour, je dois faire cet exercice pour le 16 janvier, mais étant donné que je bloque quasiment à chaque question, je m'y prend dès maintenant. Voici l'énoncé :
On considère un tétraèdre OABC tel que OAB, OBC, OCA soient des triangles rectangles en O, avec OA = 2 , OB=2√3 et OC=3.
PARTIE A : Orthogonalité dans l'espace
1.Faire une figure
Je me suis placé dans un cube ; je ne sais pas comment faire autrement...
2.Soit K le projeté orthogonal de O sur (AB). Justifier que (AB) est orthogonale au plan (OCK).
Je pense devoir trouver deux droite (OC ou CK ou OK) qui soient orthogonales à (AB). K est le projeté orthogonal de O sur (AB) donc (AB) et (OK) sont orthogonales. Je dois donc trouver une autre droite (OC ou CK) mais je ne sais pas comment le démontrer.
3. Soit H le projeté orthogonal de O sur (AB).
a) Justifier que H appartient à (CK).
b) Calculer .
c) Que représente le point H pour le triangle ABC.
J'hésite entre orthocentre et centre de gravité.
PARTIE B : Dans un repère
On considère le repère ( O ;
;
;
)
1.Justifier que ce repère est orthonormé.
Montrer que les point sont coplanaires ?
2. a) Déterminer une équation cartésienne du plan (OCK) dans ce repère. Je ne trouve pas de vecteur normal...
b) Déterminer les coordonnées de K.
c) Calculer l'angle
3.a) Déterminer l'aire du triangle ABC.
b) En calculant de deux façons différentes le volume du tétraèdre OABC, déterminer la distance OH.
4.a) Montrer que les plans médiateurs des aretes OA , OB , OC ont un point commun Q dont on précisera les coordonnées.
b) Justifier qu'il existe une sphère circonscrite au tétraedre et calculer son rayon.
5.a) Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre G des points O A B et C.
b) Que peut-on dire de la position des points G , O et Q.
Je vous remercie pour votre aide pour réflechir avec moi à cet exercice.
2/ (AB) est orthogonale au plan (OCK)
c'est évident, AB est perpendiculaire à OK et à OC donc à deux droites du plan OCK
Soit H le projeté orthogonal de O sur (AB). c'était K "Soit K le projeté orthogonal de O sur (AB)" vérifie, tu as dû faire une erreur de recopie.
A oui d'accord j'arrive mieux à le visualiser comme ça. Merci beaucoup.
Pour la question 3 je voulais écrire
Soit H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC)
Pour la 3.a)
Je démontre que CK est la médiane issue de C dans le triangle ABC. H appartient à CK s'il est le centre de gravité.Cela répond aussi à la question 3.c) ...
CK est la médiane issue de C dans le triangle ABC
la hauteur plutôt
non ta démonstration ne vaut pas un clou
considère le plan OHC, c'est un plan perpendiculaire à ABC puisqu'il contient OH
ce plan est donc également perpendiculaire à AB . mais le seul plan perpendiculaire à AB et passant par O c'est OCK et donc le plan coupe AB en K et H appartient au plan OCK et donc aussi à l'intersection de OCK et ABC qui est CK et si H appartient à CK c'est que les 3 points sont alignés.
AH.BC tu l'as calculé ? tu devrais trouver 0 montrant que H qui est déjà sur la hauteur CK de ABC est également sur une seconde hauteur. H est donc l'orthocentre de ABC (et pas le centre de gravité !!)
Bonsoir, merci de votre réponse !
Je ne parviens pas à comprendre à partir de :
" et donc le plan coupe AB en K et H appartient au plan OCK et donc aussi à l'intersection de OCK et ABC qui est CK et si H appartient à CK c'est que les 3 points sont alignés. "
C'est le plan OHC qui coupe AB en K ?
Pour les questions 3.b) et 3.c) j'ai bien compris Merci !!
2
🙏3.a) On pourrait présenter ainsi ces choses :
AB est perpendiculaire à OK et à OC, donc au plan (OCK).
OH est perpendiculaire à (ABC), donc à AB et à CK.
AB est perpendiculaire à OH et à OC, donc au plan (OHC).
Les plans (OCK) et (OHC) sont donc confondus.
Dès lors, les droites OH et CK sont sécantes et le point H appartient à la droite (CK).
Pour la partie B, je trouve à la 2 a) l'équation cartésienne suivante :
-2x + 2racine3y + 4 = 0
Le problème est que ça ne coïncide pas avec la question d'après.
Je crois qu'il faut trouver une représentation paramétrique de la droite AB :
x= 2 - 2t
y= 2racine3 y
z= 0
Puis on trouve t à l'aide de l'équation cartésienne mais je trouve K ( 0 ; 0 ; 0 ) ce qui est illogique...
2.a) Je suis d'accord avec les deux premiers termes de ton équation. Mais d'où sort le 4 ?
Ensuite, je ne vois pas qu'on demande une représentation paramétrique de la droite AB . . . .
On a A( 2 ; 0 ; 0) et B( 0 ; 2√3 ; 0) donc ( -2 ; 2√3 ; 0)
Soit M(x;y;z) un point de l'espace. On a ( x-2 ; y ; z)
Donc M (OCK)
.
= 0
Donc -2(x-2) + 2√3y = 0
Soit -2x + 2√3y + 4 = 0
Je comprends pas ou est mon erreur avec le +4 mais en effet ça ne m'étonnerait qu'il soit en trop...
Pour la question 2.b
Une représentation paramétrique de AB est :
x= -2t + 2
y= 2√3t
z= 0
Un équation cartésienne du plan OCK est, si le +4 disparaît :
-2x + 2√3y = 0
Si on résout le système :
on a -2x + 2√3y = 0
soit -2(-2t+2) + 2√3(2√3t) = 0 et on trouve t = 1/4
En remplaçant dans la représentation paramétrique on trouve
x = 3/2
y =√3 / 2
z = 0
Ce sont les coordonnées de K.
Je ne suis cependant pas sur de ce résultat...
Plus simplement :
Plan (OCK) : ax + by + cz + d = 0
AB est un vecteur normal à ce plan.
On a donc a = - 2 b = 2
3 c = 0
Le plan passant par l'origine, d est nul.
Non ?
Selon la formule des distances je trouve OK = racine3
On a donc tan OKC = OC/ON
soit tan OKC = 3/racine3
Je trouve 60°.
Super merci !
Pour la 3a) j'applique la formule Base×Hauteur / 2
Donc on a AC×BI/2
Je trouve avec la formule des distances, AC = 3.6
Et BI = 3.9
Je pense que c'est bon...
Pour la 4a) si j'ai vie compris il faut trouver une équation cartésienne pour chaque plan.
On a donc besoin de trouver le milieu de chaque segment.
Chaque segment va correspondre au vecteur normal.
3.a) Qu'est-ce que le point I ?
4.a) Oui. Mais, si tu regardes la figure, tu n'auras pas besoin de vecteur normal, car chaque plan a une équation très simple.
Oups patron. J'ai noté I le milieu de AC. Il faut trouver la hauteur du triangle donc la distance BI.
Pour la 4b comment je justifie l'existence d'une sphère circonscrite ?
Est ce que le rayon est la distance QA ?
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