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Orthogonalité - produit scalaire

Posté par Isatia (invité) 09-05-05 à 18:33

Bonsoir,
Serait-il possible d'avoir de l'aide pour cet exercice s'il vous plait ? Je vous en remercie d'avance.
Voici l'exercice :

On considère les plans P et L d'équations respectives 2x+y-z=0 et x-y+2z=0
1° Vérifier que le point A(1;0;-3) est équidistant des plans P et L.
2° Déterminer l'ensemble E des points équidistants des plans P et L.

Posté par
H_aldnoer
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 18:43

slt


Calcule les distances du point A aux plan P et L pour le 1/

ou bien tu projete orthogonalement celui-ci sur les plans


@+ _ald_

Posté par
dad97 Correcteur
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 18:45

Bonsoir Isatia,


Ce n'est peut être pas la méthode la plus rapide :
Il est facile (visible sur l'équation de plan) de trouver un vecteur \vec{u} orthogonal au plan P.
Déterminer le point d'intersection H de la droite passat par A et dirigée par \vec{u}, la distance AH est alors la distance de A au plan P.
Même démarche avec l'autre plan.
Comparer les deux longueurs obtenues.

Salut

Posté par
dad97 Correcteur
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 18:45

Salut H_aldnoer

Posté par
H_aldnoer
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 18:48

slt dad97,


au moins cela lui fera une diversité au niveau des methodes


@+ sur l' _ald_

Posté par Isatia (invité)re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 18:48

Salut !
Je suis désolée mais je n'ai pas tout compris... Un autre explication serait elle possible ?! Merci

Posté par
H_aldnoer
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 18:50

slt,


3$\rm si l'on a une equation cartesienne du type ax+by+cz+d=0 alors un vecteur normale est donnee par \vec{n}(a;b;c)


@+ sur l' _ald_

Posté par
dad97 Correcteur
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 18:54

Le vecteur \vec{u}(2;1;-1) est orthogonal au plan P

la droite A dirigée par \vec{u} est définie par :
x=1+2k
y=0+k


le point H(x,y,z) vérifie donc :
2x+y-z=0
x=1+2k
y=0+k
z=-3-k

on remplace x, y et z dans la première équation on détermine k et on trouve les coordonnées de H on en déduit la distance AH.

Fais rapidement et sans relecture

Salut

Posté par
H_aldnoer
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 19:13

re


dad97 je crois qu'il y a une methode plus rapide :

4$d_{(A;P)}=\frac{|ax_a+bx_b+cx_c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}

je pe me tromper


@+ sur l' _ald_

Posté par
lyonnais
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 19:21

salut H_aldnoer :

je confirme, cette formule existe et est largement plus rapide ( enfin, je trouve ... )

salut dad97

@+
lyonnais

Posté par
H_aldnoer
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 19:22

slt lyonnais

merci pr la confirmation


@+ sur l' _ald_

Posté par
dad97 Correcteur
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 19:38

je confirme elle existe

Posté par
dad97 Correcteur
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 19:39

Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué

Posté par
H_aldnoer
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 19:57


a oui et qui est qui a dit "Ce n'est peut être pas la méthode la plus rapide "

Posté par
dad97 Correcteur
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 19:59

je confirme que ma méthode est moins rapide et plus compliqué que d'utiliser la formule.

Mais comment cette formule se démontre

Posté par
H_aldnoer
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 20:01

bien bien




la formule est certes longue a demontrer mais c justement parce qu'elle est longue qu'elle est tres utile et qu'il ne faut pas hesiter a s'en servir ... enfin je pense


@+ sur l' _ald_

Posté par
dad97 Correcteur
re : Orthogonalité - produit scalaire 09-05-05 à 20:17

je fais partis des gens qui ont du mal à retenir une formule sans comprendre d'où elle vient et forcément quand on s'en sert plus on se souvient plus de la méthode pour la retrouver que de la formule

Salut

Posté par
lyonnais
re : Orthogonalité - produit scalaire 10-05-05 à 14:59

salut dad97 :

Tu veux la démonstration ... alors, allons y pour la démo ...

Soit P un plan passant par A de vecteur normal \vec{n} . M est un point de l'espace et H sont projeté orthogonal sur P.

\vec{n} et \vec{HM} sont colinéaires, donc il existe \alpha tel que \vec{HM}=\alpha \time \vec{n}

<=>
\vec{AM}.\vec{n}=(\vec{AH}+\vec{HM}).\vec{n}
<=>
\vec{AM}.\vec{n}=\vec{AM}.\vec{n}+\vec{HM}.\vec{n}
<=>
\vec{AM}.\vec{n}=\vec{HM}.\vec{n}
<=>
\vec{AM}.\vec{n}=\alpha \time \vec{n} .\vec{n}
<=>
\vec{AM}.\vec{n}=\alpha ||\vec{n}||^2

d'où \alpha = \frac{\vec{AM}.\vec{n}}{||\vec{n}||^2}

et donc 3$ \rm \blue \fbox{\frac{\vec{AM}.\vec{n}}{||\vec{n}||^2} \time \vec{n}

on en tire :

HM=||\vec{HM}||=||\frac{\vec{AM}.\vec{n}}{||\vec{n}||^2} \time \vec{n}||=|\frac{\vec{AM}.\vec{n}}{||\vec{n}||^2}| \time ||\vec{n}||

d'où  3$ \rm \red \fbox{HM=\frac{|\vec{AM}.\vec{n}|}{||\vec{n}||}

De plus, si l'espace est muni d'un repère orthonormal :

P a pour équation : ax+by+cz+d=0   avec (a;b;c)\neq (0;0;0)

\vec{n} (a;b;c)  et \vec{n} est normal au plan P

A P : (x_A;y_A;z_A)    et  M(x_0;y_0;z_0)

donc  \vec{AM} ( x_0-x_A;y_0-y_A;z_0-z_A)   et  ||\vec{n}||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

<=>
HM=\frac{|a(x_0-x_A)+b(y_0-y_A)+c(z_0-z_A)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
<=>
HM=\frac{|ax_0+b_y_0+cz_0-ax_A-by_A-cz_A|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

soit, en posant : -ax_A-by_A-cz_A=d  ,  on obtient bien :

3$ \blue \rm \fbox{HM=d(M a H\in P)=\frac{|ax_0+b_y_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Voila : alors tu la trouves bien cette démo ?

PS : c'est bien, ça me fait réviser les ROC pour le bac ...

@+
lyonnais


Orthogonalité - produit scalaire

Posté par
lyonnais
re : Orthogonalité - produit scalaire 10-05-05 à 15:03

zut, il y a un petit oublie sur ma magnifique démo ...

Dans le premier cadre bleu, il faut lire :

et donc 3$ \rm \blue \fbox{\vec{HM}=\frac{\vec{AM}.\vec{n}}{||\vec{n}||^2} \time \vec{n}

@+
lyonnais


Posté par
lyonnais
re : Orthogonalité - produit scalaire 11-05-05 à 15:28

Elle te convient cette démo ou pas dad97 ?



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