D'après les équations paramétriques de la droite  d , un vecteur directeur de celle-ci a pour coordonnées  (1; - 1; 2).

Bonjour,

Observe les coefficients du paramètre t : un vecteur directeur de d est U(1,-1,2).

Pour la proportionnalité c'est élémentaire, non ?

Bonjour Priam
Je  vous laisse.

oh mais oui !
ma question était idiote ...
je n'ai pas encore bien intégré le principe de la représentation paramétrique ... :/

il faut que les vecteur directeurs de d et (EF) soient colinéaires donc, que
EF(-2,2,-4) et U(1;-1;2) soient proportionnels
or on constate que EF = -2U il il y a bien colinéarité, par conséquent les droites d et (EF) sont bien parallèles.
( ça ne suffit pas si ? il faut qu'elles soient strictement parallèles donc non confondu
si elles sont confondu elles ont exactement les mêmes vecteurs directeurs ce qui n'est pas le cas ici c'est ça ? je suis vraiment désolé, je ne suis pas sur de moi, je cherche à comprendre

Merci à tous les deux pour vos réponses très rapides

2) montrer que d et (EH) sont sécantes en K(3,2,2)

d de vecteur directeur U(1,-1,2) et EH(-1;-5;3)
sont sécantes en K(3,2,2) <=> U et EH non colinéaires et coplanaires ?

or manifestement les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles ( ça suffit ? )

1) Pour montrer que les droites  d  et (EF) ne sont pas confondues, tu peux choisir un point de (EF), par exemple le point E, et chercher s'il y a une valeur de  t  qui corresponde à ce point sur le droite  d . Si ce n'est pas possible, c'est que les deux droites sont distinctes.
2) Je te conseille d'établir une représentation paramétrique de la droite (EH) (avec un autre paramètre, par exemple  p )et, ensuite, de chercher les coordonnées de leur point d'intersection en déterminant la valeur correspondante des deux paramètres.

merci !
alors 1) je trouve t=1, t=7 et t=-7/2 donc les droites sont bien non confondues
pour le 2) je trouve une équation paramétrique de EH en faisant EP=t*EH ? je n'y vois pas encore clair mais j'essaie, si c'est ça je trouve x=-t+2 y=-5t-3 et z=3t+5

2) montrer que d et (EH) sont sécantes en K(3,2,2) avec d :
x=1+t
y=4-t
z=-2+2t  
de vecteur directeur U(1,-1,2) E(2;-3;5) F(0;-1;1) et H(1;-8;8)
d et (EH) sécantes en K <=> K€d, K€(EH) et d et (EH) sont non coplanaires
K€d <=>
3=1+t
2=4-t
2=-2+2t
soit
t=2
t=2
t=2
K€d
K€(EH)<=> KE et KH sont colinéaires
KE(-1;-5;3) KH(-2;-10;6)
manifestement les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles, KE=1/2KH donc les vecteurs sont colinéaires ainsi les point K, E et H sont alignés. K € (EH)

il reste a montrer que (EH) et d ne sont pas confondus
donc et les vecteurs EH et U ne sont pas coplanaires.

EH(-1;-5;3) U(1;-1;2)
je n'ai pas trois vecteurs, comment montrer la non coplanarité ?