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Paramétrage du cercle trigo

Posté par
Ramanujan 04-01-19 à 04:37

Bonsoir,

Je bloque sur la raisonnement dans la démo d'une proposition.

\forall \theta \in \R : \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1 (démo triviale aucun souci)

Réciproquement, \forall x \in \R, \forall y \in \R tel que : x^2 + y^2 =1 \exists \theta \in \R tel que : x = \cos(\theta) et y = \sin(\theta)

Démonstration du livre :

x^2 = 1 - y^2 \leq 1 donc -1 \leq x \leq 1

Comme \cos(\pi) \leq x \leq \cos(0) par continuité de la fonction cos sur [0,\pi] il existe \theta_0 \in [0,\pi] tel que : \cos(\theta_0)=x

Aucun problème jusqu'ici.

A partir de là je comprends pas pourquoi on utilise le 1er résultat alors qu'il est écrit réciproquement...

\sin^2(\theta_0)= 1- \cos^2(\theta_0 )= 1 -y^2

Donc : y = |\sin(\theta_0 )|= \pm \sin(\theta_0 )

Jusque ici c'est compris mais la suite je comprends pas le raisonnement.

Si y=\sin(\theta_0) alors x=\cos(\theta_0) et y=\sin(\theta_0 )

Je comprends pas pourquoi on part de "si y" alors qu'on a déjà prouvé l'existence de x en premier

Si y=-\sin(\theta_0) alors x=\cos(-\theta_0) et y=\sin(-\theta_0 )

Je ne comprends pas on avait trouvé x=\cos(\theta_0) et maintenant on nous dit que x vaut plus ça mais x=\cos(-\theta_0). Je comprends rien au raisonnement

Posté par
luzakre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 08:14

1. Merci de virer tes "tel que" : c'est du bégaiement.
Le quantificateur \exists se lit "... tel que... "  tu n'as aucun besoin de rajouter cette locution qui montre seulement qu'on a utilisé le \exists comme un signe sténographique, ce qui n'est pas admissible dans une rédaction mathématique correcte.

2. Je ne vois pas où est ton problème dans la démonstration du "Réciproquement" (encore que je ne comprends pas l'implication initiale puisque tu ne dis pas comment sont définies les fonctions trigonométriques).

Il s'agit d'établir l'existence d'un u tel que \cos(u)=x,\;\sin(u)=y.

On commence par trouver \theta_0 tel que x=\cos\theta_0. Mais ce \theta_0 ne suffit pas puisque tu n'as pas encore établi que y=\sin\theta_0.
Et effectivement on voit que tout ce qu'on peut écrire c'est y^2=\sin^2\theta_0. D'où le choix, par disjonction des cas :
Si \sin\theta_0=y c'est bon, le choix u=\theta_0 convient.
Si \sin\theta_0=-y on ne PEUT PAS dire u=\theta_0. En revanche, le choix u=-\theta_0 convient : on a bien (x,y)=(\cos u,\sin u).

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 11:52

L'auteur ne donne pas la définition précise des fonctions cos et sin, il précise qu'elle sera donnée dans le cours de 2ème année.

Mais pour la démo du premier point, il utilise les formules \cos(a-b)= \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)

Mais ça veut dire quoi le réciproquement ici ? Je comprends pas je vois pas d'équivalence à montrer ici

On a montrer l'existence de \theta_0 au départ avec le TVI mais comment on peut dire que - \theta_0 convient alors qu'on a pas prouvé son existence ?

Posté par
lafol Moderateurre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 12:07

Bonjour
tu as besoin d'une preuve pour montrer que si t existe dans IR, alors -t existe aussi

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 12:16

Ah non en effet

Par contre pourquoi il est écrit "réciproquement" ?

Si on faisait vraiment la réciproque de l'équivalence on pourrait pas utiliser le \cos^2(\theta_0) + \sin^2(\theta_0) =1 dans la démo non ?

Posté par
lafol Moderateurre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 12:19

où vois-tu une équivalence ?
on a montré que les nombres x = cos(t), y = sin(t) vérifient toujours (i.e. pour tout x réel) x²+y²=1.
on cherche ensuite à voir si réciproquement lorsque deux nombres x et y vérifient x²+y²=1, on peut les considérer comme cos et sin d'un même réel t.
comme on a montré préalablement que pour tout t, cos²t + sin²t=1, rien n'empêche de l'utiliser dans la preuve suivante !

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 12:22

Ah d'accord merci Lafol j'ai compris

Posté par
luzakre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 15:13

L'équivalence n'est quand même pas si difficile à écrire :

Soit (x,y)\in\R^2. On a l'équivalence entre les assertions
i) x^2+y^2=1
ii) \exists u\in\R,\;(x,y)=(\cos u,\sin u)

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 16:37

Ah d'accord Luzak et dans le 1 on avait montré ii) => i)

Par contre quand y = - \sin (\theta_0) = \sin(- \theta_0) je me demande comment montrer que : x = \cos(-\theta_0)

J'ai x^2 = 1 -  \sin^2(- \theta_0)

Donc : x^2 =  \cos^2(- \theta_0)

Et là comment on sait si : x = \pm  \cos(- \theta_0) ?

Posté par
lionel52re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:10

Si x = cos(\theta_0) alors x = cos(-\theta_0)

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:15

Oui Lionel, mais dans le cas y= - \sin (\theta_0) je trouve :

x = |\cos(-\theta_0)|

Le livre donne directement : \cos(-\theta_0) je comprends pas pourquoi.

Posté par
lionel52re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:20

Deja x peut etre negatif donc pourquoi il est égal a une valeur absolue?

Posté par
etniopalre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:21

On est encore parti pour au moins 50  "  je comprends pas pourquoi "  (qui m'écorche les oreilles !)

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:30

\cos est une fonction  paire

ou \cos\theta =\sum_{n\ge 0}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}

ou alors tu le déduit du cercle trigo

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:31

déduis

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:41

Mousse pourquoi vous parlez de parité ? C'est quoi l'utilité dans la démo ?

J'en étais à :

Dans le cas y = - \sin (\theta_0) = \sin(- \theta_0)

On a : x^2 = 1 -  \sin^2(- \theta_0)

Donc : x^2 =  \cos^2(- \theta_0)

C'est ici que je bloque.

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:45

tu cherches quoi exactement?  x?

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 17:47

Ca donne : \sqrt{x^2}= \sqrt{\cos^2(\theta_0})

Donc : |x| = |\cos(\theta_0)|

Je vois pas comment en déduire que : x = \cos(\theta_0)

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:02

mousse42 @ 04-01-2019 à 17:45

tu cherches quoi exactement?  x?


Je cherche à montrer ce passage qui est dans mon livre :

Si y=-\sin(\theta_0) alors x=\cos(-\theta_0) et y=\sin(-\theta_0 )

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:10

x^2+y^2=1 \implies  \exists u\in\R,\;(x,y)=(\cos u,\sin u)

Si tu dois montrer ceci tu dois poser des conditions sur x et y je crois :

Par exemple x>0 et y>0 et tu travailles dans le premier cadran
ensuite tu traites les autres cas de manière similaire.

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:15

ok, mais à partir de quoi ?

As-tu le droit d'utiliser pour tout x\quad , \cos^2x+\sin^2x=1

Posté par
luzakre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:19

Citation :

Je cherche à montrer ce passage qui est dans mon livre :
Si y=-\sin(\theta_0) alors x=\cos(-\theta_0) et y=\sin(-\theta_0 )

C'est tout montré, que veux-tu de plus ?
.............................................................................
Si tu lisais ce qu'on te répond ?
De traîner ton \thata_0 comme le sparadrap du capitaine tu perds ton temps !

Je t'ai déjà dit mais tu ne veux pas lire !
On commence par trouver \theta_0 tel que x=\cos\theta_0.
Ensuite, on regarde si y vaut \sin\theta_0 ou son opposé :
si OUI on prend u=\theta_0 et on a (x,y)=(\cos u,\sin u)
si NON on prend u=-\theta_0 et on a encore (x,y)=(\cos u,\sin u) !

On a bien trouvé un réel u (que nommes comme tu veux ! Idéfix, par exemple !) et on passe à un autre exercice.
Ou alors on s'obstine à chercher si \theta_0 est un martien ou un vénusien, mais tu n'auras pas la réponse ICI !
Et si le "livre" ne convient pas, on le change !

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:21

Mousse   l'auteur n'a posé aucune condition sur x et y. Je mets la démo : c'est la dernière ligne qui me pose problème.

1/ \forall \theta \in \R : \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)=1
Ce résultat a été démontré, il est utilisé dans la démonstration du 2).

2/ \forall x \in \R, \forall y \in \R tel que : x^2 + y^2 =1 \exists \theta \in \R tel que : x = \cos(\theta) et y = \sin(\theta)

Démonstration :

x^2 = 1 - y^2 \leq 1 donc -1 \leq x \leq 1

Comme \cos(\pi) \leq x \leq \cos(0) par continuité de la fonction cos sur [0,\pi] il existe \theta_0 \in [0,\pi] tel que : \cos(\theta_0)=x

\sin^2(\theta_0)= 1- \cos^2(\theta_0 )= 1 -y^2

Donc : y = |\sin(\theta_0 )|= \pm \sin(\theta_0 )

Si y=\sin(\theta_0) alors x=\cos(\theta_0) et y=\sin(\theta_0 )

Si y=-\sin(\theta_0) alors x=\cos(-\theta_0) et y=\sin(-\theta_0 )

Posté par
lionel52re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:32

Quel est le but de l'énoncé? Tu cherches un \theta tel que x = cos(\theta) et y = sin(\theta)


Tu sais déjà que x = cos(\theta_0) super. Tu as alors y^2 = sin^2(\theta_0)

Si y = sin(\theta_0) alors c'est gagné et tu peux poser \theta = \theta_0

Sinon y = -sin(\theta_0) et c'est pas gagné
Par contre tu vois que y = sin(-\theta_0) et que x = cos(\theta_0) = cos(-\theta_0) \\ Donc \theta = -\theta_0 convient

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:36

ou alors si on admet que \cos^2u+\sin^2u=1 (Pythagore)


\\ x^2+y^2=1 on déduit que x,y\in [-1,1] et puisque pour tout u dans \mathbb{R},\quad  \cos u\in [-1,1], il existe un u\in \mathbb{R} tel que x=\cos u et par identification y =\pm\sin u

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:42

si y =-\sin u =\sin -u et puisque \cos(-u)=\cos u=x

Tu proposes deux couples (\cos u, \sin u) ou (\cos -u,\sin -u)

Posté par
mousse42re : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:45

c'est en gros l'explication de lionel52

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 18:55

lionel52 @ 04-01-2019 à 18:32

Quel est le but de l'énoncé? Tu cherches un \theta tel que x = cos(\theta) et y = sin(\theta)


Tu sais déjà que x = cos(\theta_0) super. Tu as alors y^2 = sin^2(\theta_0)

Si y = sin(\theta_0) alors c'est gagné et tu peux poser \theta = \theta_0

Sinon y = -sin(\theta_0) et c'est pas gagné
Par contre tu vois que y = sin(-\theta_0) et que x = cos(\theta_0) = cos(-\theta_0) \\ Donc \theta = -\theta_0 convient


Merci Lionel j'ai enfin compris

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 19:10

Mousse merci ça rejoint l'explication de Lionel.

Luzak le livre est très bien, je dois juste progresser en raisonnement.  Au moins y a pas de coquilles partout comme dans mon ancien livre.

Posté par
lafol Moderateurre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 21:32

tu ferais bien de commencer par un bon niveau de fin de lycée . Ne pas savoir que pour tout a réel, cos(a) = cos(-a), c'est quand même fort pour quelqu'un qui vise d'enseigner en lycée ....

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 22:42

Bah si je sais quand même ça j'ai pas pensé à l'utiliser c'est tout.

C'est pas une démo de niveau terminale ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 23:01

si le TVI est toujours au programme en terminale, si...

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 23:14

Donc ça va je vise pas trop haut pour l'instant je commence doucement. Je suis sur de la trigo de terminale.

Posté par
lafol Moderateurre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 23:39

à part le TVI, c'est de la trigo de fin de seconde, première ...

Posté par
Ramanujanre : Paramétrage du cercle trigo 04-01-19 à 23:46


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