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paramètre et fonction ln

Posté par
Cornelia 14-12-12 à 13:13

salut,
soit fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| (m*) x0 et xm
fm(0)=fm(m)=mln|m|

supposons que m>o et I=[m/2;+[
1 etudier la continuité t la dérivabilité de fmen 0 et en m
2 calculer la dérivée de fm et donner son tableau de variation
3 etudier la branches infinies de la fonction en+
voilà.; .c'est surtout dans la dérivabilité en 0 et m que je trouve des problème...j'ai bien utilisé des moyens..mais les limites à calculer  restent sous une forme indéfinie..un p'tit aide? j'en serais très reconaissante et merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 14-12-12 à 14:47

Bonjour,

Par exemple en 0 (où f est continue) avec m>0:

\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{x\ln|x|-(x-m)\,\ln|x-m|-m\,\ln\,m}{x}

\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\ln\left|\dfrac{x}{x-m}\right|+\dfrac{m}{x}\,\ln\left|\dfrac{x-m}{m}\right|

\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=-\ln\left|1-\dfrac{m}{x}\right|+\dfrac{x}{m}\,\ln\left|\dfrac{x}{m}-1\right|

\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=-\ln\left|1-\dfrac{m}{x}\right|-\dfrac{\ln\,\left|1-\frac{x}{m}\right|}{-\frac{x}{m}}

et avec \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln\,(1+h)}{h}=1, on obtient:

\lim\limits_{x_to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=-\infty

f n' est pas dérivable en 0 (mais tangente verticale en A(0;m\,\ln\,m)

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 14-12-12 à 14:51

Pour la dérivabilité en m, il suffit de remarquer (et de prouver) que la courbe présente un axe de symétrie d' équation x=\dfrac{m}{2}.

f ne sera pas non plus dérivable en m ...



Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 14-12-12 à 15:12

Une faute de frappe à la 3ème ligne de calcul qui ne change rien pour la suite:

\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=-\ln\left|1-\dfrac{m}{x}\right|+\dfrac{m}{x}\,\ln\left|\dfrac{x}{m}-1\right|

Posté par
Corneliare : paramètre et fonction ln 14-12-12 à 18:08

oui..on nous a déjà dit de démontrer que x=m/2 et un axe de symétrie de la courbe..mais comment dire pour exploiter ceci?

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 14-12-12 à 18:58

Mais si la droite d' équation x=\dfrac{m}{2} est axe de symétrie de la courbe, comme le point A(0;m\, \ln\,m) appartient à cette courbe avec une tangente verticale en ce point, alors le symétrique par rapport à cet axe soit B(m;m\,\ln\,m) appartient aussi à la courbe et la tangente en B d' abscisse m sera verticale itou.

Bref, en m, f n' est pas dérivable.

Un dessin:

paramètre et fonction ln

A l' oeil, il semblerait que les deux tangentes en A et C ne sont pas verticales et pourtant elles le sont!

Posté par
Corneliare : paramètre et fonction ln 14-12-12 à 20:27

merci

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 14-12-12 à 21:09

Posté par
Corneliare : paramètre et fonction ln 15-12-12 à 15:23

A propos des branches infinies de la courbe??

Posté par
Corneliafm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| 15-12-12 à 15:37

salut,
fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| x0 et xm    m*
fm(0)=fm(m)=mln|m|
1 montrer que la courbe C-m=SO(Cm) où SO et la symétrie centrale du centre O
2 montrer que si m>2 alors fm ne s'annule pas
3 donner le nombre de zéro de f2
4 montrer que si 0<m<2 alors fm s'annule ne 2 points m<m avec m+m=m
5 dans cette partie, on suppose que 0<m<1
a montrer que m<m <1
b montrer que f1(m/m=-lnm
bon... ce n'est pas l'exercice complet.mais..voià..je ne comprends pas ce qui est demandé dans la 1 question et pour la suite... je n'ai aucune idée comment commencer..alors un petit aide..j'en serais vraiment très très reconnaissante et merci d'avance

*** message déplacé ***
* Océane > pose toutes les questions de ton exercice dans le même topic Cornelia, merci *

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 15-12-12 à 17:57

Il suffit de regarder en +\infty. Par symétrie, on aura l' autre branche:

\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\ln\left|\dfrac{x}{x-m}\right|+m\,\dfrac{\ln\,|x-m|}{x}\right)=0

Donc branche parabolique d' axe (Ox) en +\infty

Même chose en -\infty

Posté par
Labore : fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| 15-12-12 à 18:39

Bonsoir,
1) on te demande de montrer que les courbes représentant les fonctions  pour m et -m
fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m|
et f(-m)(x)=xln|x|-(x-(-m))ln|x-(-m)|
sont symétriques par rapport au point 0
autrement dit :
montre que pour tout x de Df
-x apparient  à Df et
fm(x)=-f(-m)(-x)


*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| 15-12-12 à 18:54

Bonjour Labo,

Multiplet ou pas? paramètre et fonction ln

Je dis oui...



*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| 15-12-12 à 18:54

Euh multipost!

*** message déplacé ***

Posté par
Labore : fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| 15-12-12 à 19:08

Bonsoir Cailloux
Je pense comme toi

multipost


*** message déplacé ***

Posté par
Corneliare : fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| 15-12-12 à 22:14

c'est la même fonction, je l'admet.. mais pas les mêmes questions... car je pensais que je pouvais faire le reste seule..mais voilà que je me bloques..c'est tout!

*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : fm(x)=xln|x|-(x-m)ln|x-m| 15-12-12 à 22:21

Si à chaque question d' un exercice on devait ouvrir un nouveau topic ...

*** message déplacé ***

Posté par
Corneliare : paramètre et fonction ln 15-12-12 à 22:22

deux petites dernières choses... je sais que je vous ai un peu dérangé..mais..
1 pourriez-vous me reformuler ce que vous avez dit à propos de la non-dérivabilité en m..car je ne pense pas que j'ai bien saisi et
2   (Lien cassé)
et merci encore une fois et désolée pour le dérangement..

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 16-12-12 à 15:47

Regarde le dessin:

A et C sont deux points de la courbe symétriques par rapport à la droite d' équation y=\dfrac{m}{2}, d' abscisses respectives 0 et m

On sait que la tangente à la courbe en A est verticale.

Donc par symétrie, la tangente en C, d' abscisse m, à la courbe sera verticale aussi.

Autrement dit f n' est pas dérivable en m

Posté par
Corneliare : paramètre et fonction ln 16-12-12 à 17:51

okay..désolée pour le muripost.;je ne l'ai pas fait exprès...mais pourriez-vous m'aider à propos de la deuxième partie où il ya ces et s'il vous plait??

Posté par
Corneliare : paramètre et fonction ln 16-12-12 à 17:53

multipost*

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 17-12-12 à 00:20

4)Si 0<m<2, et 0<\dfrac{m}{2}<1 si bien que le minimum de f_m soit m\,\ln\,\dfrac{m}{2} est négatif.

Il reste à utiliser le TVI dans le cas des fonctions monotones sur les intervalles ]-\infty;\dfrac{m}{2}] et [\dfrac{m}{2};+\infty[ pour prouver l' existence de \alpha_m et \beta_m

De plus ces deux valeurs étant symétriques par rapport à \dfrac{m}{2}, on a \alpha_m+\beta_m=m (regarde la figure)

5)a) 0<m<1

f_m(m)=m\,\ln\,m<0 et f_m(1)=(m-1)\,\ln\,(1-m)>0

donc avec la croissance stricte de f_m sur [\dfrac{m}{2};+\infty[:

m<\beta_m<1

Posté par
cailloux Correcteurre : paramètre et fonction ln 17-12-12 à 13:56

5)b) Avec 0<m<\beta_m<1 d' où \beta_m-m>0 et \dfrac{\beta_m}{m}-1>0:

f_1\left(\dfrac{\beta_m}{m}\right)=\dfrac{\beta_m}{m}\,\ln\,\left(\dfrac{\beta_m}{m}\right)-\left(\dfrac{\beta_m}{m}-1\right)\,\ln\,\left(\dfrac{\beta_m}{m}-1\right)

f_1\left(\dfrac{\beta_m}{m}\right)=\dfrac{1}{m}\left[\underbrace{\beta_m\,\ln\,\beta_m-(\beta_m-m)\,\ln\,(\beta_m-m)}_{f_m(\beta_m)=0}-\beta_m\,\ln\,m+(\beta_m-m)\,\ln\,m\right]

f_1\left(\dfrac{\beta_m}{m}\right)=-\ln\,m


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