Bonsoir Fachetta.
On procède comme pour toute recherche de parité,
- On vérifie que le domaine de la fonction est symétrique par rapport à 0.
- Si on a répondu positif à la question précédente, alors on calcule F(-x) et on regarde si c'est égal à F(x) ou à -F(x), et ce pour tout x du domaine de F.

Bonsoir,
La fonction F telle que tu la donnes est définie sur ]-,0[]0,[.
Elle est impaire et elle ne peut pas être périodique car son domaine de définition n'est pas périodique.

J'imagine qu'on la prolonge en définissant une fonction G 2-périodique égale à F sur ]-,[\{0}.

Mais dans ce cas on donne la période de G.

Jsvdb  vous voulez dire qu'on écrit comme ça:
F(-x)= 1 si -x ]-π,0[
  -1  si -x ]0,π[

verdurin quand on faire le développement en série de Fourier de cette fonction on doit trouver sa période pour calculer les coefficients

Telle que tu l'as définie, cette fonction n'est pas périodique.
Si tu veux faire un développement en série de Fourier, il faut que tu la suppose 2-périodique.

bonsoir

je pense qu'il s'agit encore d'un énoncé incomplet, mal recopié et sans rigueur... et notre auteur veut parler de la fonction F, définie sur -{k ; k} , 2 périodique, définie sur  ]-,0[]0,[  par

F(x)=1 si x ]0,π[
   et (-1) si  x ]-π,0[

C'était pas mentionné dans l'énoncé que F est 2π périodique ,

alors l'énoncé n'a aucun sens

Peut-on dire que la période d'une telle fonction est la somme des longueurs des deux intervalles sur les quelles elle définie F?

NON.