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Parité et primitive

Posté par
Evariste76
02-12-10 à 17:53

Bonjour. Mon professeur de maths m'a donné un exercice, le voici:

Soit f une fonction continue sur R.

1. On suppose que f est impaire et on désigne par F une primitive de f sur R.
  a. Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x)=F(-x) est aussi une primitive de f sur R.
  b. En déduire que toutes les primitives de f sur R sont des fonctions paires.

2. On suppose que f est paire et on désigne par F une primitive de f sur R. Montrer (à l'aide d'un exemple) que F n'est pas nécessairement une fonction impaire.

Je n'y arrive absolument pas. Au mieux que je trouve c'est G(x)=F(-x)=-F(x).

Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Parité et primitive 03-12-10 à 09:57

Bonjour,

1)a) G est dérivable sur \mathbb{R} comme composée de fonctions dérivables sur \mathbb{R}

G'(x)=-F'(-x)=-f(-x)

Or f est impaire donc:

G'(x)=f(x) et G est une primitive de f sur \mathbb{R}

2)a) Donc pour toute primitive F de f sur \mathbb{R}, on a:

pour tout x réel F(-x)=F(x)+k

et pour x =0, k=0

donc F(-x)=F(x) et F est paire.



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