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parraléllograme et relation de chasles

Posté par
nelbhd
03-11-22 à 19:29

bonsoir,
je poste ce message car je ne comprends pas un exercice de mon DM, en voici l'énoncé :

ABCD est un parallélogramme. Démontrer que AC + BD = 2BC

merci de bien vouloir m'aider s'il vous plaît

manelle

Posté par
Leile
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 19:33

bonjour,

qu'as tu essayé de faire ?
sais tu décomposer   \vec{AC} en introduisant   B ?

Posté par
nelbhd
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 19:36

justement, j'arrive pas... j'ai essayé de faire AC + BD mais il n'y a aucune lettre en commun, je comprends pas comment décomposer AC en introduisant B

Posté par
Leile
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 19:49

tu as tracé le parallélogramme ABCD.

la relation de chasles que tu as vue en cours te dit comment décomposer un vecteur en introduisant un point.

Imagine un ballon  qui est tenu par le joueur M.
s'il le lance à N, le ballon fait le trajet  de M à N représenté par le vecteur MN :   \vec{MN} .
le ballon part de M et arrive à N, c'est ça qui importe.
Chasles dit que si M te passe le ballon et que toi T, tu le passes à N, ça revient au même.
le ballon fait alors les trajets   \vec{MT}   et    \vec{TN}
ainsi     \vec{MN}  =  \vec{MT}   + \vec{TN}

on a alors décomposé    \vec{MN}  en introduisant T.

OK?

à présent décompose   \vec{AC}  en introduisant B.

Posté par
nelbhd
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:03

d'accord j'ai compris l'explication avec le ballon, merci beaucoup

du coup on fait : AC = AB + BC ?

Posté par
Leile
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:06

oui c'est ça. (sur ta feuille, tu mets bien les fleches des vecteurs n'est ce pas ?)
tu peux te dire que tu as fait apparaitre un BC : bonne nouvelle !
à présent décompose BD : quel point choisis tu d'introduire, pour avoir un autre BC ?

Posté par
nelbhd
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:37

oui je mets bien les flèches des vecteurs,
je pense qu'il faut introduire un C, donc on fait :
BD = BC + CD

Posté par
Leile
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:39

parfait !

donc en vecteur :
AC + BD =  AB + BC + BC + CD
on y est presque !
comme ABCD est un parallélogramme, par quel vecteur peux tu remplacer CD ?

Posté par
nelbhd
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:46

merci

je pense qu'on peut le remplacer par le vecteur BA ?

Posté par
Leile
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:48

oui, c'est ca !  

donc en vecteur :
AC + BD =  AB + BC + BC + BA

et AB + BA  =  ???

Posté par
nelbhd
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:52

AB + BA = 0

donc BC +BC = 2BC

merci beaucoup pour votre aide ! sans vous je n'aurais jamais compris cet exercice, merci encore !

Posté par
Leile
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 20:57

je t'en prie, mais attention à ta conclusion

tu écris BC + BC = 2BC,  ça on le sait...   depuis longtemps !
ta conclusion devrait etre

AC + BD = 2BC    ..  

je te laisse rédiger.
A une autre fois peut-être.

Posté par
nelbhd
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 21:02

j'ai laissé ma conclusion telle qu'elle, je devrai rajouter quelque chose  ?
à la fin des calculs j'ai écris : donc AC + BD = 2BC
çz me semble pas être faux

Posté par
Leile
re : parraléllograme et relation de chasles 03-11-22 à 21:08

tu as écrit

BC + BC = 2BC   en conclusion

c'est comme si je te disais à la fin d'un devoir
donc   1 + 1 = 2        ==> je n'ai pas besoin d'un développement pour ça, tout le monde le sait que 1+1 = 2, et tout le monde sait que BC + BC = 2BC.

reviens à la question :
montrer que AC + BD =  2BC
tu notes que AC = AB + BC   et que  BD = BC + CD
et dérouler ton calcul en gardant les égalités :
AC + BD = AB + BC + BC + CD
or CD =  BA
AC + BD = AB + BC + BC + BA
et AB + BA = 0 (vecteur nul)
donc
AC + BD = 2BC    là tu es arrivée au bout.

tu vois ce que je veux dire ?



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