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Partage de puissance et stabilité

Posté par
fabo34 13-08-22 à 11:10

Bonjour à tous,

Toujours sur cette (belle) formule:

$(u-v)^{2m+1}=u.f_m(u,v)^2-v.f_m(v,u)^2$
avec
$f_m(u,v)=\sum_{k=0}^{m}{\begin{pmatrix}2m+1 \\ 2k\end{pmatrix} u^{m-k} v^{k}$

En étudiant les démonstrations de Fermat pour les cas n=3 et n=5, on peut voir que ça fonctionne (en partie ) grâce à la stabilité "multiplicative" des formes quadratiques $x^2+ny^2, n \in \mathbf{Z}$ (respectivement $x^2+3y^2$ et $x^2-5y^2$ ) . Et donc stabilité par puissance.

Ici notre formule donne un résultat un peu "similaire" :
toutes les formes $ax^2+by^2,  (a,b)\in \mathbf{Z}~$ sont stables par puissance (mais uniquement "impaire" ).
En effet,

$(ax^2-by^2)^{2m+1}=a(x.f_m(ax^2,bx^2))^2-b(y.f_m(by^2,ax^2))^2$

Soit:

$(ax^2-bx^2)^{2m+1}=ax'^2-by'^2$

Ca me fait penser donc à l'équation des coniques   $ax^2-by^2=1$ . En partant d'un point sur cette conique, et en élevant l'expression à une puissance impaire, on reste donc sur la conique.

Mais que signifie géométriquement "élever à une puissance impaire"? Cela correspond-il à une transformation géométrique?

Plus généralement, à quoi cette "stabilité" vous fait-t-elle penser ?  Quelles implications? (histoire de me donner un peu de grain à moudre pour un éventuel prolongement)

Posté par re : Partage de puissance et stabilité 13-08-22 à 12:56

$ax^2-b^y^2 = 1$ suggère qu'après renormalisation, on est sur une hyperbole paramétrisable par cosh et sinh.

Ton truc ressemble beaucoup à une transformation de Lorentz (une rotation hyperbolique) avec un repère qui glisse uniformément le long de l'axe Oy uniquement et dont le temps serait sur l'axe Ox.
Les $X^2 - Y^2$ seraient dans ce cadre de relativité restreinte, des calculs d'intervalles $ds^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ ?

Intervalles dont on sait qu'ils sont des invariants, comme 2-contractions d'un 4-vecteur contre lui même

Si tu connais un peu cette théorie et que tu as du temps à perdre, tu peux peut-être refformuler ton énoncé dans le cadre de la relativité générale, avec un tenseur métrique particulier sur une variété riemannienne particulière ?

Posté par re : Partage de puissance et stabilité 13-08-22 à 13:36

Ulmiere: Bonjour. ET merci. Non, je n'ai pas de temps "à perdre"; vu la complexité des termes, je laisse ça au futur inventeur de la machine à "arrêter" le temps ! (On parle tout le temps de machine à "remonter" le temps, mais je n'y crois guère ... sinon on aurait déjà rencontré des gens du futur. Ou alors ils ont aussi inventé la discrétion absolue).

Après, j'avais (encore!) pensé à Fermat en me disant que

$x^n + y^n=x.(x^m)^2 + y.(y^m)^2$

Et donc que ce truc était stable par élévation à la puissance. Et que peut-être une puissance particulière donnerait une information intéressante, avec:

$(x^n + y^n)^p=z^{np}=x.c^2+y.d^2$

Sinon, en restant dans le domaine de l'arithmétique, peut-être d'autres implications de cette stabilité?

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