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Passer de Un+1 à Un

Posté par
Maxeuh
12-09-21 à 14:28

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

Citation :

Soit (U_{n}) la suite définie par : U_{0} = -3 et U_{n+1} = 3U_{n}+12.

1. Calculer U_{1}, U_{2} et U_{3}.
2. Soit (V_{n}) la suite définie par V_{n} = U_{n} + 6.
Démontrer que la suite (V_{n}) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
3. En déduire une expression U_{n} en fonction de n.
4. Trouver ) la calculatrice la première valeur entière N vérifiant U_{n+1} \geq 10000.
5. Prouver que pour tout n \geq N on a : U_{n} \geq 10000.


Je passe la premère question (un cadeau du ciel, sûrement).
Pour la 2e, j'ai trouvé que V_{n+1} = 3U_{n}+18 et donc que V_{n+1} = 3V_{n}. C'est donc une suite géométrique de raison 3 et de premier terme V_{0} = 3.
Pour la 3e question, j'imagine qu'il faut utiliser la réponse à la 2e question, mais je bloque là.
4e question à la calculatrice, U_{8} = 19677, donc N = 8.
Et j'ai pas encore commencé la 5e question puisqu'il faut, j'imagine, utiliser la 3e question.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 14:31

Bonjour, que vaut le terme général d'une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 3 ?
(voir cours Tout ce qui concerne les suites géométriques)

Posté par
Zormuche
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 14:31

Bonjour
  
Si  V_n  est défini comme égal à  U_n+6 , alors on peut facilement retrouver  U_n  en fonction de  V_n !

D'autant plus que tu as démontré que  (V_n)  est une suite géométrique

Posté par
Zormuche
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 14:32

Bonjour Glapion, je te laisse poursuivre si tu le souhaites

Posté par
Glapion Moderateur
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 14:33

salut Zormuche, non prends le relais si tu veux.

Posté par
Maxeuh
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 14:39

Pour moi U_{n} = V_{n} - 6 du coup, mais V_{n} = U_{n} + 6, donc c'est tourner en rond ?

Posté par
Maxeuh
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 15:01

Glapion @ 12-09-2021 à 14:31

Bonjour, que vaut le terme général d'une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 3 ?
(voir cours Tout ce qui concerne les suites géométriques)


V_n = 3*3^n, et donc U_n = V_n - 6 = 3*3^n - 6
Sur ma calculatrice graphique ça sonne bon !

Posté par
Zormuche
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 15:08

Oui, c'est ça. Tu peux aussi écrire  3^{n+1}-6

Posté par
Zormuche
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 15:10

Pour la 4e question tu as trouvé à tâtons ou avec un programme ? Au vu de la question, je pense qu'il est attendu que tu crées un programme

Posté par
Maxeuh
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 15:13

Zormuche @ 12-09-2021 à 15:10

Pour la 4e question tu as trouvé à tâtons ou avec un programme ? Au vu de la question, je pense qu'il est attendu que tu crées un programme


"Trouver à la calculatrice", j'ai donc juste utilisé l'outil "Suites" de ma calculatrice, je pense pas que j'ai besoin de détailler.

Pour la question 5, il faut montrer que 3^{n+1} \geq 3^n. Mais je vois pas trop comment détailler ça au propre sur ma copie...

Posté par
Maxeuh
re : Passer de Un+1 à Un 12-09-21 à 16:23

Pour moi c'est logique que mettre 3n+1 est plus grand que 3n... Je sais pas si il y a une explication plus "technique" ou si je dois juste marquer cela tel quel sur ma copie...

Posté par
Zormuche
re : Passer de Un+1 à Un 13-09-21 à 14:56

Citation :
"Trouver à la calculatrice", j'ai donc juste utilisé l'outil "Suites" de ma calculatrice, je pense pas que j'ai besoin de détailler.


Tu as raison, j'avais oublié l'existence de cet outil

Pour la question 5), c'est "logique" car 3^{n+1} = 3\times 3^n  et que  3>1

Sinon, tu peux directement invoquer le fait que la suite est croissante (car géométrique de raison q>1)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Passer de Un+1 à Un 10-10-21 à 19:17

Bonjour,
Mieux vaut tard que jamais. Voici une explication plus "technique" pour :

Citation :
Pour moi c'est logique que mettre 3n+1 est plus grand que 3n

3n+1 - 3n = 3n(3 - 1) = 23n
Produit de 2 réels positifs.
De manière générale, pour démontrer que A > B, on peut chercher le signe de A-B.



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