Niveau quatrième

Patron d'un tétraèdre trirectangle

Posté par
Zakk 14-05-11 à 00:08

Bonsoir, j'ai un gros blocage sur un simple exercice.
Je ne me souviens plus comment faire un patron de tétraèdre trirectangle.
La figure s'appelle ACFB et est tétraèdre trirectangle en B.
On sait que AB=BF=BC=5cm
On sait aussi que AC=CF=AF puisque la pyramide est dans un cube.
Voilà, j'espere que vous me comprenez.

Merci d'avance.

Posté par re : Patron d'un tétraèdre trirectangle 14-05-11 à 01:16

J'ai jamais bossé sur ce type de pyramide mais d'instinct, je dirais que ça doit ressembler à ça :

$Patron d\'un tétraèdre trirectangle$

Posté par re : Patron d'un tétraèdre trirectangle 14-05-11 à 11:57

Ok merci beaucoup
Et l'aire des triangles rectangles est bien égale à 12,5 cm ?
Et par contre j'arrive pas à trouver celle exact du triangle équilatéral (FCA)...

Posté par re : Patron d'un tétraèdre trirectangle 14-05-11 à 13:37

Oui l'aire des triangles rectangles est bien 12,5cm² (n'oublie pas le carré)

Pour le triangle équilatéral, il faut faire (base x hauteur)/2 comme pour un triangle quelconque...

Calculons la base (c'est-à-dire FC)
Sachant que FBC est un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s'applique :

$FC^2=BC^2+BF^2 \\ FC^2=5^2+5^2 \\ FC^2=25+25 \\ FC^2=50 \\ FC=\sqrt{50} \\ FC=\sqrt{25\times2} \\ FC=5\sqrt{2}cm$

Calculons la hauteur
Donc appelons H le pied de la hauteur du triangle AFC issue de A (voir figure en bas).

$CH=\frac{CF}{2} \\ CH=\frac{5\sqrt{2}}{2}cm$

AHC est un triangle rectangle donc le théorème de Pythagore s'applique :

$AC^2=HA^2+CH^2 \\ (5\sqrt{2})^2=HA^2+(\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 \\ 25\times2=HA^2+\frac{(5\sqrt{2})^2}{2^2} \\ 50=HA^2+\frac{25\times2}{4} \\ 50=HA^2+\frac{50}{4} \\ 50=HA^2+\frac{25}{2} \\ HA^2=50-\frac{25}{2} \\ HA^2=\frac{100}{2}-\frac{25}{2} \\ HA^2=\frac{75}{2} \\ HA=\sqrt{\frac{75}{2}} \\ HA=\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}} \\ HA=\frac{\sqrt{25\times3}}{\sqrt{2}} \\ HA=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ HA=\frac{5\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} \\ HA=\frac{5\sqrt{6}}{2}cm$

Calcul de l'aire
Maintenant qu'on connait la base et la hauteur, on peut calculer l'aire :

$A=\frac{base\times hauteur}{2} \\ A=\frac{CF\times AH}{2} \\ A=\frac{5\sqrt{2}\times\frac{5\sqrt{6}}{2}}{2} \\ A=\frac{\frac{5\sqrt{6}\times5\sqrt{2}}{2}}{2} \\ A=\frac{\frac{25\sqrt{12}}{2}}{2} \\ A=\frac{\frac{\sqrt{625\times12}}{2}}{2} \\ A=\frac{\frac{\sqrt{7500}}{2}}{2} \\ A=\frac{\frac{\sqrt{2500\times3}}{2}}{2} \\ A=\frac{\frac{50\sqrt{3}}{2}}{2} \\ \fbox{A=\frac{25\sqrt{3}}{2}cm^2}$

Des questions ?

$Patron d\'un tétraèdre trirectangle$

Posté par re : Patron d'un tétraèdre trirectangle 14-05-11 à 17:17

Merci beaucoup

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