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Pb de suite ... une aide ! merci

Posté par X-men (invité) 14-10-03 à 09:53

(Sn) une suite définie pour tout entier n par :
Sn = Un + Vn

avec U0=0
         U(n+1)=(3Un+1)/4
et
         V0=2
         V(n+1)=(3Vn+1)/4

j'ai
U1= 1/4
U2= 7/16
U3=37/64
et
V1=7/4
V2= 25/16
V3= 91/64

S0= 2 ; S1=2 ; S3=3

a) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que
la suite (Sn) est constante

--------------------------------------------------------------------------

On considère la suite (dn) définie pour tout entier naturel n par
dn = Vn - Un
a) montrer que dn est une suite géométrique
b) donner l'expression de dn en fonction de n

--------------------------------------------------------------------------
Montrer que Un et Vn convergent et ont même limite

Si vous pouviez m'aider je vous serait infiniement reconnaissant

Posté par Domi (invité)re : Pb de suite ... une aide ! merci 14-10-03 à 10:11

Bonjour,

Quelques remarques et indication.

Si, dans a), tu dois démontrer que Sn est constante, ton calcul de S3
est donc faux.

a) Tu as démontré que S0=S1=2

Tu supposes que Sn = 2 et tu démontres que Sn+1 = 2


Suite dn:
a) Fais le calcul de dn et tu vas d'apercevoir que dn = q dn-1

b) Applique la défintion d'une suite géométrique de raison q


Convergence de Un et Vn.

1) dn >= 0 . Comme q <1 => n->+oo  dn->0
=> A toi de conclure


Bon courage

Posté par X-Men (invité)re : Pb de suite ... une aide ! merci 14-10-03 à 10:13

oui S3=2 j'ai mal tapé désolé

je te remercie de ses indications !!
++ X-Men

Posté par X-Men (invité)re : Pb de suite ... une aide ! merci 14-10-03 à 10:22

Une petite dernière question ( je suis chiant hein !!)
Comment faire pour calculer (dn) ??
Car (dn)= Vn - Un

Je n'ai pas Vn et Un mais Vn+1 et Un+1

Merci !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Pb de suite ... une aide ! merci 14-10-03 à 10:34

S(n) = U(n) + V(n)
S(n+1) = U(n+1) + V(n+1)
S(n+1) = ((3U(n) + 1)/4) + ((3V(n) + 1)/4)
S(n+1) = (3/4)(U(n) + v(n)) + (1/2)
S(n+1) = (3/4).S(n) + (1/2)

Montrons que si S(n) = 2 pour une certaine valeur k de n, on aura aussi s(k+1)
= 2

Si S(n) = 2 pour une certaine valeur k de n, on a s(k) = 2
S(k+1) = (3/4).S(k) + (1/2)
S(k+1) = (3/4).2 + (1/2)
S(k+1) = (3/2) + (1/2)
S(k+1) = 2.

Donc on a montré que si S(n) = 2 pour une certaine valeur k de n, on aura
aussi s(k+1) = 2.  (1)

Calcul de S(0):
U(0) = 0; V(0) = 2
-> S(0) = 0 + 2 = 2

Comme S(0) = 2, on a par (1) que S(1) = 2.
Comme S(1) = 2, on a par (1) que S(2) = 2.
Comme S(2) = 2, on a par (1) que S(3) = 2.
Et ainsi de proche en proche, on a S(n) = 2 pour tout n de N.
La suite S(n) est constante.
-------------------------------------------------------
d(n) = V(n) - U(n)
d(n+1) = V(n+1) - U(n+1)
d(n+1) = ((3V(n) + 1)/4) - ((3U(n) + 1)/4)
d(n+1) = (3/4).(V(n) - U(n)) + (1/4)-(1/4)
d(n+1) = (3/4).(V(n) - U(n))
d(n+1) = (3/4).d(n)

dn est donc une suite géométrique de raison = 3/4 et de premier terme
d(0) = V(0) - U(0) = 2.

d(n) = 2.(3/4)^n
--------------------------------------------------------
lim(n->oo) d(n) = 0
->
lim(n->oo) [V(n)-U(n)] = 0
lim(n->oo) V(n) = lim(n->oo) U(n)
Et donc V(n) et U(n) ont une même limite.

Comme S(n) = U(n) + V(n) = 2
Si n->oo, U(n) = V(n) -> 2U(n) = 2 -> U(n) = 1

Un et Vn convergent vers 1.
-----------------------------------------------------------
Sauf distraction.

Posté par (invité)re : Pb de suite ... une aide ! merci 14-10-03 à 11:45

Merci beaucoup J-P



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