(Sn) une suite définie pour tout entier n par :
Sn = Un + Vn
avec U0=0
U(n+1)=(3Un+1)/4
et
V0=2
V(n+1)=(3Vn+1)/4
j'ai
U1= 1/4
U2= 7/16
U3=37/64
et
V1=7/4
V2= 25/16
V3= 91/64
S0= 2 ; S1=2 ; S3=3
a) A l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que
la suite (Sn) est constante
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On considère la suite (dn) définie pour tout entier naturel n par
dn = Vn - Un
a) montrer que dn est une suite géométrique
b) donner l'expression de dn en fonction de n
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Montrer que Un et Vn convergent et ont même limite
Si vous pouviez m'aider je vous serait infiniement reconnaissant
Bonjour,
Quelques remarques et indication.
Si, dans a), tu dois démontrer que Sn est constante, ton calcul de S3
est donc faux.
a) Tu as démontré que S0=S1=2
Tu supposes que Sn = 2 et tu démontres que Sn+1 = 2
Suite dn:
a) Fais le calcul de dn et tu vas d'apercevoir que dn = q dn-1
b) Applique la défintion d'une suite géométrique de raison q
Convergence de Un et Vn.
1) dn >= 0 . Comme q <1 => n->+oo dn->0
=> A toi de conclure
Bon courage
oui S3=2 j'ai mal tapé désolé
je te remercie de ses indications !!
++ X-Men
Une petite dernière question ( je suis chiant hein !!)
Comment faire pour calculer (dn) ??
Car (dn)= Vn - Un
Je n'ai pas Vn et Un mais Vn+1 et Un+1
Merci !
S(n) = U(n) + V(n)
S(n+1) = U(n+1) + V(n+1)
S(n+1) = ((3U(n) + 1)/4) + ((3V(n) + 1)/4)
S(n+1) = (3/4)(U(n) + v(n)) + (1/2)
S(n+1) = (3/4).S(n) + (1/2)
Montrons que si S(n) = 2 pour une certaine valeur k de n, on aura aussi s(k+1)
= 2
Si S(n) = 2 pour une certaine valeur k de n, on a s(k) = 2
S(k+1) = (3/4).S(k) + (1/2)
S(k+1) = (3/4).2 + (1/2)
S(k+1) = (3/2) + (1/2)
S(k+1) = 2.
Donc on a montré que si S(n) = 2 pour une certaine valeur k de n, on aura
aussi s(k+1) = 2. (1)
Calcul de S(0):
U(0) = 0; V(0) = 2
-> S(0) = 0 + 2 = 2
Comme S(0) = 2, on a par (1) que S(1) = 2.
Comme S(1) = 2, on a par (1) que S(2) = 2.
Comme S(2) = 2, on a par (1) que S(3) = 2.
Et ainsi de proche en proche, on a S(n) = 2 pour tout n de N.
La suite S(n) est constante.
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d(n) = V(n) - U(n)
d(n+1) = V(n+1) - U(n+1)
d(n+1) = ((3V(n) + 1)/4) - ((3U(n) + 1)/4)
d(n+1) = (3/4).(V(n) - U(n)) + (1/4)-(1/4)
d(n+1) = (3/4).(V(n) - U(n))
d(n+1) = (3/4).d(n)
dn est donc une suite géométrique de raison = 3/4 et de premier terme
d(0) = V(0) - U(0) = 2.
d(n) = 2.(3/4)^n
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lim(n->oo) d(n) = 0
->
lim(n->oo) [V(n)-U(n)] = 0
lim(n->oo) V(n) = lim(n->oo) U(n)
Et donc V(n) et U(n) ont une même limite.
Comme S(n) = U(n) + V(n) = 2
Si n->oo, U(n) = V(n) -> 2U(n) = 2 -> U(n) = 1
Un et Vn convergent vers 1.
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Sauf distraction.
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