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pb ouvert sur les fonctions

Posté par
manoudu66 19-03-09 à 15:39

Bonjour j'ai un pb ouvert a rendre. je me ss fait le dessin du pb ms je ne vois pas par où commencer.
quelqu'un pourait me guider svp?

le sujet : Ds cet exercice, tte trace de recherche, mm incomplete, doit etre réigée.Le correcter tiendra compte des pistes envisagées et de la rigueur de la méthode ds la note.

On veut construire une rampe pr handicapés peremettant de descendre une marche de hauteur 1; trouver une courbe permettant le tracé de la rampe de sorte qu'il n'y ait pas de points anguleux et que la pente maximale de la rampe soit de 10%; quelle est l'emprise au sol de la rampe ?

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 16:58

Bonjour,

Un dessin pour te donner des idées:

pb ouvert sur les fonctions

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 17:01

Mince, il faut lire \frac{15}{2} au lieu de \frac{7}{2} mais tu auras rectifié je pense...

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 17:49

bonjour cailloux, merci pr ce dessin tres précis ms jarrive pas à voir en quoi il va me diriger enfin je ss daccord sur l'allure que doit avoir la courbe rouge ms je ne vois pas comment tarrive a aboutir a définir son équation pourrais tu me guider stp???

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 18:32

La première chose à "intuiter", c' est de dire qu' une courbe du troisième degré peut convenir:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f(0)=1 donc d=1

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f'(0)=0 donc c=0

et f(x)=ax^3+bx^2+1

Il faut voir ensuite que la courbe comporte nécessairement un point d' inflexion (là où elle traverse sa tangente) et qu' en ce point, la pente de la tangente est maximale en valeur absolue.

Soit x_0 l' abscisse de ce point et \ell l' abcisse de l' extrémité droite de la rampe:

Sur [0,x_0], f' est décroissante et sur [x_0,\ell], f' est croissante.

f' admet donc un minimum en x_0 (soit un maximum en valeur absolue).

Ce minimum doit valoir -0,1 (pente maximum en valeur absolue donnée par l' énoncé)


donc f''(x_0)=0

f''(x)=2(3ax+b) et x_0=-\frac{b}{3a}

f'(x_0)=-\frac{b^2}{3a}=-\frac{1}{10}

d' où 3a=10b^2

D' autre part f(\ell)=0 et f'(\ell)=0

On en tire le système \{a\ell^3+b\ell^2+1=0\\3a\ell^2+2b\ell=0

ce qui donne \{b\ell^2=-3\\a\ell^3=2

Avec 3a=\10b^2, on obtient (quelques calculs):

a=\frac{2}{15^3} et b=-\frac{1}{75} et \ell=15

Soit f(x)=\frac{2}{3375}x^3-\frac{1}{75}x^2+1

On vérifie que cette fonction convient bien.

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 19:54

oki merci ms comment tu fais pr intuiter que c'est une courbe du 3eme degré?? jai vu que ce nétait pas une courbe du 2d degres parce qu'elle n'a pas l'allure dune parabole ms apres je sais pas comment tu vois si sait du 3eme ou 4eme ect.

est ce que c'est parce que ttes les courbes du 3eme degré resemblent à un truc ds le genre (chose que j'aurai zapé ) ???

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 20:04

et qd tu dis:
Citation :
Il faut voir ensuite que la courbe comporte nécessairement un point d' inflexion (là où elle traverse sa tangente) et qu' en ce point, la pente de la tangente est maximale en valeur absolue.
[quote]


les courbes qui possedent un point dinflexion st celles du 3eme degres autrement dit ttes les coubes du 3eme degres ont un point dinflexion ??

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 20:31

comment tu sais les variations de f'(x) je suppose que tu dois passer par la derivée seconde ms comme on connaît ni a ni b encore je sais pas comment tu le sais. si c'est graphiquement je sais pas comment on le lit graphiquement...

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 21:49

Citation :
ms comment tu fais pr intuiter que c'est une courbe du 3eme degré?? jai vu que ce nétait pas une courbe du 2d degres parce qu'elle n'a pas l'allure dune parabole


Eh bien voilà une excellente raison: les paraboles ne marchent pas... une courbe de degré 3 peut-être ?

On essaie... et ça marche!

Citation :
les courbes qui possedent un point dinflexion st celles du 3eme degres autrement dit ttes les coubes du 3eme degres ont un point dinflexion ??


Pas tout à fait; ce qu' on peut dire:

Les courbes poynomiales de degré 3 possèdent un point d' inflexion.

En effet si f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, la dérivée seconde s' annulle en changeant de signe:

f''(x)=6ax+2b s' annulle en x_0=-\frac{b}{3a} en changeant de signe;

Ce qui est la caractéristique des abscisses des points d' inflexion.

Citation :
comment tu sais les variations de f'(x) je suppose que tu dois passer par la derivée seconde ms comme on connaît ni a ni b encore je sais pas comment tu le sais. si c'est graphiquement je sais pas comment on le lit graphiquement...


On peut effectivement le voir graphiquement:

Tu as du faire un dessin du même genre que celui de 16h58;

En tout point de la courbe d' abscisse x, le coefficient directeur (ou pente) de la tangente est f'(x)

Si tu fais varier un point sur la courbe (de gauche à droite), tu peux constater que le coefficient directeur de la tangente en ce point augmente à partir de 0 en valeur absolue jusqu' au point d' inflexion puis diminue en valeur absolue jusqu' à la fin de la courbe où il vaut une nouvelle fois 0.

Or ce coefficient directeur est négatif ou nul.

Donc f' est d' abord décroissante de 0 à -0.1 où le minimum est atteint puis croissante de -0.1 à 0

Ce qui signifie que f''(x)\leq 0 sur [0,x_0] et f''(x)\geq 0 sur [x_0,\ell] avec x_0 abscisse du point d' inflexion. Bien entendu f''(x_0)=0

Je ne sais pas si c' est très clair...





Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 22:18

merci oui ça me parait plus clair à présent (tes explications st précises completes ce qui m'aide bcp ^^ merci, je ne sais pas si tu es prof ds ts cas tu explique bien)

sinn jai essayé de continuer et j'en ss

Citation :
f'(x0)= -b²/3a
=-1/10

ms je n'arrive pas a voir comment tu trouves le " -b² "

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 19-03-09 à 22:37

Oui et donc 10b^2=3a

\ell étant la longueur au sol de la rampe, on a \{f(\ell)=0\\f'(\ell)=0

On en tire le système: \{a\ell^3+b\ell^2+1=0\\3a\ell^2+2b\ell=0

soit encore: \{3a\ell^3+3b\ell^2+3=0\\3a\ell^3+2b\ell^2=0 en multipliant la première par 3 et la seconde par \ell

Par différence b\ell^2=-3 puis a\ell^3=2

On a donc le système: \{10b^2=3a\\b\ell^2=-3\\a\ell^3=2

Avec a=\frac{2}{\ell^3} et b=-\frac{3}{\ell^2} et en remplaçant dans la première équation, on obtient:

\ell=15 puis a=\frac{2}{15^3} et b=-\frac{3}{15^2}=-\frac{1}{75}

Posté par
asninere : pb ouvert sur les fonctions 21-03-09 à 16:00

SALUT . SI J'AI BIEN COMPRIS , la piste qui t'a aidé c'est la pente max et la relation avec l'inflexion !! je pense que cest peut etre çà qui t'a fait penser a la courbe polynomiale du 3 degré.merci je vois que ta fonction est bien solution du projet.

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 12:12

msg pr cailoux:
nn c'est pas ça que je te demandais, là où je bloque c'est comment tu trouve f'(x0)= -b²/3a

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 12:20

msg pr Asnine:
nn d'apres ce que j'ai compris des explications de Cailloux c'est parce qu'on voit que ça n'a pas l'allure d'une parobole dc ce n'est pas une fonction carrée et comme c'est pas une droite ce n'est ni une fonction polynome du 1er degres dc par élimination on essaye une fonction polynome du 3eme degres et... il se trouve que ça fonctionne =)

ps: Cailloux, si je me trompe ....

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 12:40

Citation :
dc ce n'est pas une fonction carrée et comme c'est pas une droite ce n'est ni une fonction polynome du 1er degres dc par élimination on essaye une fonction polynome du 3eme degres et... il se trouve que ça fonctionne =)


Tout à fait; il existe d' ailleurs une infinité de fonctions qui seraient solution. On nous en demande une (en pensant qu' on va essayer une fonction polynôme de degré 3 qui est la solution attendue).

Citation :
là où je bloque c'est comment tu trouve f'(x_0)= -b²/3a


f'(x)=3ax^2+2bx

f''(x)=6ax+2b=2(3ax+b)

x_0 est la racine de l' équation f''(x)=0 donc x_0=-\frac{b}{3a}

que l' on reporte dans f'(x):

f'(x_0)=3a\left(-\frac{b}{3a}\right)^2+2b\left(-\frac{b}{3a}\right)

f'(x_0)=\frac{b^2}{3a}-\frac{2b^2}{3a}=-\frac{b^2}{3a}

>> Vict Si tu veux des réponses, poste ton sujet dans un nouveau topic

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 14:00

merci cailloux.
ds le pb on nous pose une autre question:

Citation :
quelle est l'emprise au sol de la rampe ?

je ne comprends pas ce qu'ils entendent par "l'emprise au sol"

puis je voudrais te demander si par hasard, est ce qu'une fonction sinusoïdale aurait pu etre  solution au pb ?? car j'ai des camarades de classe qui pensent que ça serait p'etre ça (ils ne l'ont pas encore vérifié jusqu'au bout ms ça me parait etre compliquer leur idée, nn? )

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 14:19

Re,


Citation :
je ne comprends pas ce qu'ils entendent par "l'emprise au sol"


Il s' agit de de la projection orthogonale de ta rampe sur l' axe des abscisses.

Autrement dit la distance entre l' origine du repère et la fin de la rampe: c' est notre \ell et il vaut 15m

Citation :
puis je voudrais te demander si par hasard, est ce qu'une fonction sinusoïdale aurait pu etre solution au pb ??


J' en suis persuadé; il y a une foultitude de fonctions qui conviennent et une sinusoïde avec son point d' inflexion marche, bien sûr (je n' ai pas fait les calculs)....

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 14:40

D' ailleurs voici une solution avec une sinusoïde (les calculs sont courts):

pb ouvert sur les fonctions

Mais elle est théoriquement moins bonne du point de vue de l' ingénieur car l' emprise au sol vaut ici 5\pi>15

Veu du point de vue d' un correcteur, cette solution serait tout aussi bonne...

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 15:14

oki si je comprends bien pr qu'elle soit "bnne du pt de vu de l'ingénieur il faut que l'emprise au sol soit la plus ptte possible ms pourquoi???

si ça ne te gène pas tu pourais me montrer comment t'as trouvé l'équation de cette rampe (si t'as pas le tps ou que t'as pas envie je comprendrai ms c'est juste que je ss un peu perdue avc les fct trigo dc ça m'aurait entraîné)

ce pb il m'a été posé ds un devoir surveillé sans calculette (étant donné que personne n'avait essayé de le traiter on l'a eu à faire à la maison) ainsi là où je veux en venir c'est: quelle solution t'aurait semblait la mieux adaptée sans calculette???

Merci.

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 15:34

Citation :
du pt de vu de l'ingénieur il faut que l'emprise au sol soit la plus ptte possible ms pourquoi???


Pour des raisons d' encombrement: à la réalisation, moins l' engin est "grand" mieux ça vaut...

La solution avec une sinusoïde est presque immédiate:

La fonction correspondante est de la forme f(x)=\frac{1}{2}\cos\,ax+\frac{1}{2} sur une demi période, c' est à dire sur [0,\frac{\pi}{a}] en sorte que:

f'(0)=f'\left(\frac{\pi}{a}\right)=0 (fait le calcul avec f'(x)=-\frac{a}{2}\,\sin\,ax).

et f(0)=1 f\left(\frac{\pi}{a}\right)=0

Puis f''(x)=-\frac{a^2}{2}\,\cos\left(ax\right) qui s' annulle en changeant de signe pour x_0=\frac{\pi}{2a} sur [0,\frac{\pi}{a}].

f'(x_0)=-\frac{a}{2}=-0.1 et a=\frac{1}{5}

d' où f(x)=\frac{1}{2}\,\cos\left(\frac{x}{5}\right)+\frac{1}{2}

On obtient l' emprise \ell=\frac{\pi}{a}=5\pi

Dans un cas comme dans l' autre, la calculette ne sert pas à grand chose...

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 15:50

merci jai compris ts tes calculs ms question surement bête ms comment tu vois qu'elle est de la forme f(x)=(1/2)cos ax +(1/2)   (je veux surtt parler du "+(1/2)"???)

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 16:13

je fais les calculs et je trouve pas comme toi:

Citation :
f'(0)=f'(/a)=0(fait le calcul avec f'(x)=-a/2sin ax )
et f(0)=1 f(/a)=0


pourtant graphiquement on comprend que f'(0)=f'(/a)=0 puisque leur tangente en ce pt est horizontale d'où un coefficient directeur nul je comprend pas pk avc mes calculs je trouve pas 0 ni pr  f(/a)=0  pourtant je remplace bien x par /a ds les équations

Posté par
cailloux Correcteurre : pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 16:34

Citation :
comment tu vois qu'elle est de la forme f(x)=(1/2)cos ax +(1/2) (je veux surtt parler du "+(1/2)"???)


Là, il faut une petite habitude:

Si f(x)= \cos\, ax, l' amplitude verticale est de 2 (un cosinus varie de -1 à 1 d' où le coefficient \frac{1}{2} pour avoir une amplitude de 1.

et f(x)=\frac{1}{2}\cos\,ax

et là je vais avoir une courbe qui est "autant en dessus que en dessous de l' axe des x"

J' ajoute \frac{1}{2} et elle est toujours au dessus de l' axe des abscisses.

Tout ceci n' est pas très rigoureux, mais tu peux "venir de plus loin":

en écrivant f(x)=A\cos\,(ax)+b

les conditions f(0)=1, f'(0)=0, f(\frac{\pi}{a})=0 et 'f(\frac{\pi}{a})=0 te doneront A=b=\frac{1}{2}

Citation :
je fais les calculs et je trouve pas comme toi


Il doit y avoir des erreurs...

Posté par
manoudu66pb ouvert sur les fonctions 22-03-09 à 17:09

oki merci pr tt.
pr les erreurs de calculs je vérifirai plus tard


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