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pbs de primitives
F(x)=(ax²+bx+c)e-x
f(x)=(x²+2x+2)e-x
Déterminer trois réels a,b,c tels que la fonction F définie ci-dessus soit une
primitive de la fonction f sur R
F(x)=(ax²+bx+c)e-x
f(x)=(x²+2x+2)e-x
Déterminer trois réels a,b,c tels que la fonction F définie ci-dessus soit une
primitive de la fonction f sur R.
On sait que exp(x) se dérive en exp(x) .
Condition nécessaire :
------------------------
x -> F(x) est infiniment dérivable.
On peut donc la dériver.
Dérivons F(x).
La dérivée du produit : u*v est u'v + uv'
La dérivée d' une composition gof est (g'of) * f'
donc :
F'(x) = [(ax²+bx+c)e-x ]' =( 2ax+b)*e-x - (ax²+bx+c)e-x
= [-ax²+(2a-b)+ b-c ] e-x
On veut que F soit une primitive de f .
Et donc que F'(x) = f(x).
Par identification des monômes de même degré ,
on doit alors avoir :
-a = 1
2a-b = 2
b-c = 2
d' où : a = -1 ; b = 2a-2 = -4 ; c = b-2 = -6
d' où nécesairement , F(x) = (-x²-4x-6)e-x
On vérifie que cette condition est suffisante.
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