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Pcgd et racines de l’unité
Bonjour, je bloque sur cette exercice:
Soient m et n deux éléments de N*
Montrer que : Um inter Un = Ud
Où d est le pgcd de m et n
Et U l'ensemble des nombres complexes de module 1
Bonsoir
C'est quoi Um et Un ? par hasard ce ne serait pas les ensembles respectifs des racines complexes m-ièmes et n-ièmes de l'unité ?
Bonjour, je bloque sur cet exercice :
Soient m et n deux éléments de N*
Montrer que Um inter Un = Ud
Où d est le pgcd de m et n
Et U l'ensemble des nombres complexes de module 1
*** message déplacé ***
https://
la FAQ du forumsalut
quand même en math expertes il serait bon de prendre des initiatives !!
que signifient les propositions :
a/
b/
c/
Soit x un élément de Um inter Un. Alors
On voudrait montrer que . Connais-tu l'algorithme des différences ou l'algorithme d'Euclide ?
Que vaut ?
on a vu en cours l'algorithme d'Euclide mais je ne vois pas le rapport dans cet exercice.
d'autre part,
mais, pour que il faut que d = 0 ?
L'algorithme d'Euclide peut être utilisé pour montrer que x^d=1. Non, il ne faut pas que d soit nul pour avoir x^d=1 car x est un nombre complexe. C'est le principe des racines de l'unité.
Prenons l'algorithme d'Euclide alors
On note q et r le reste et le quotient de la division euclidienne de m par n. On a alors m=qn+r. Que dire que x^r ?
salut
quand même en math expertes il serait bon de prendre des initiatives !!
que signifient les propositions :
a/
b/
on raisonne avec des lettres donc l'algorithme d'Euclide n'est pas intéressant car il est purement thorique
je répète :
que signifient les propositions :
a/
b/
c/
et je rajoute que signifie "(montrer que)
a/
b/
c/ cela signifie que d divise n et d divise m
pour montrer que deux ensembles sont égaux il faut montrer que
et
carpediem je ne vois pas en quoi il est purement théorique, C'est un résultat connu que sa convergence en temps fini vers le pgcd, et ça marche plutôt bien ici
Mon idée était d'appliquer l'algorithme d'Euclide en remarquant qu'à chaque étape, x élevé à la puissance du reste vaut toujours 1. Comme l'algorithme d'Euclide converge en temps fini vers le pgcd, on aura bien x^d = 1 à la fin
Juste en passant :
c/ cela signifie que d divise n et d divise m
2 divise 36 et 2 divise 18 ; mais 2 n'est pas le pgcd de 36 et 42.
Pas besoin d'algorithme pour cette inclusion.
Il suffit de traduire d divise n d'une part, et d divise m d'autre part.
pour montrer que
soit x un élement de
on sait que d = PGCD(m,n)
donc m = kd et n = k'd avec (k,k') dans Z²
on a donc
donc
on fait de la même manière pour n
et on a et
donc et
donc
et aussi on a vu
pgcd(a,b) = d implique que d divise a et d divise b et il existe un couple u,v dans Z² tel que ua + vb = d
soit x un élément de
on a x^m=1 et x^n= 1
Oril existe des entiers u et v tels que um + vn = d
donc
donc
donc
soit x un élément de
on a
Or
donc
donc
donc
effectivement c'est plus concis comme çaZormuche : voila ce à quoi je pensais exactement :
et aussi on a vu
pgcd(a,b) = d implique que d divise a et d divise b et il existe un couple u,v dans Z² tel que ua + vb = d
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