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[PCSI] Sur la congruence ..

Posté par
boubou01 14-10-07 à 11:33

Bonjour^^

Donc j'ai un DM a faire pour demain et j'ai ce petit exo qui me pose des problemes J'ai du aller regarder des cours sur le net pour essayer d'être a l'aise avec les congruences mais bon ca n'a pas trop marché

Si x, y et a sont trois nombres complexes (à fortiori lorsqu'il s'agit de nombres réels), on dit que x est congru à y modulo a (ce que l'on note x\equiv y[a]) si et seulement si \exists k\in\mathbb{Z} x=y+ka.

1) Montrer que la congruence modulo a est une relation d'équivalence sur \mathbb{C}.

2) Montrer, lorque a est réel, que la relation de congruence modulo a est une relation d'équivalence sur \mathbb{R}.

3) Montrer : \forall(a, x, y, z)\in\mathbb{C}^4 (x\equiv y[a]\Longleftrightarrow x+z\equiv y+z[a]).

4) Montrer : \forall(a, x, y, z, t)\in\mathbb{Z}^5 ((x\equiv y[a] et z\equiv t[a])\Longrightarrow xz\equiv yt[a]).
Dire pourquoi on ne peut pas remplacer \mathbb{Z} par \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

5) Montrer : \forall(x, y, a, b)\in\mathbb{C}^4 (x\equiv y[a]\Longrightarrow xb\equiv yb[ab]).

6) Montrer : \forall(a, x, y)\in\mathbb{C}^3 (x\equiv y[a]\Longleftrightarrow x\equiv y[-a]).

7) Reconnaitre la relation de congruence modulo 0.

Donc j'ai réussi à faire les questions 3 et 4 en fouinant sur le net. Pour la 5) je me demande s'il y a pas une erreur .. ce ne serait pas plutot Montrer : \forall(x, y, a, b)\in\mathbb{C}^4 (x\equiv y[a]\Longrightarrow xb\equiv yb[a]) ?

Enfin toute aide est la bienvenue

Posté par
mellepapillonre : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 11:44

Bonjour,
je n'ai que peu de temps donc je ne vais pas pouvoir tout expliquer mais regardons au moins la première question.
A fortiori ne prend pas d'accent sur le a car c'est un mot latin,... pour la petite anecdote!

Un relation d'équivalence qu'est ce que c'est ?soit E un ensemble et soit R une partie de ExE, on écrit xRy si x est en relation avec y
3 propriétés pour que ça en soit une:
la symétrie si xRy alors yRx
la transitivité si xRy et yRz alors xRz
et la dernière la reflexivité xRx

ici R c'est la congruence modulo a
donc tu prends x et y deux éléments complexes et tu regardes lorsque x est congru à y modulo a est ce que y est congru à x modulo a ( pour la symétrie)
est ce que x est congru à x modulo a ? ( reflexivité)
puis pareil la transitivité, ça t'aidera à maitriser la définition...

bonne chance!

Posté par
boubou01re : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 12:12

Faut que je démontre :

x\equiv x[a] Refléxivité
x\equiv y[a]\Longleftrightarrow y\equiv x[a] Symétrie
Si x\equiv y[a] et y\equiv z[a] alors x\equiv z[a] Transivité

C'est bien ca ? Mais il faut connaitre les propriétés de la congruence nan ? Parce que ça me semble impossible sans

Posté par
mellepapillonre : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 12:17

Il te suffit de revenir à la définition non ?
c'est juste ce que tu as écrit en tout cas.
x est congru à lui même avec avec k =0 ( ce qui nous donne l'existence de k) on a x = x+ 0.a donc x est congru à x
x est congru à y donc il existe k tel que x = y + k.a donc y = x - k.a , comme on po se q = -k qui appartient à Z et on a y = x +q a , donc y est congru à x , on a alors montré la symétrie, je te laisse faire le dernier ...

Posté par
boubou01re : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 12:27

Heu pour la dernière :

Si x\equiv y[a] et y\equiv z[a] alors x+y\equiv y+z[a] et par conséquent x\equiv z[a]

D'où la transitivité et la congruence modulo a est une relation d'équivalence sur \mathbb{C}.

Posté par
mellepapillonre : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 12:46

oui ça me va...mais je sais pas si votre prof souhaite qui vous reveniez totalement à la défintion...(pour la rédaction). mais c'est tout à fait juste!

pour la deuxième question tu dois te placer avec a réel et tu montres ce que ça implique ( par rapport à R ou C)

Posté par
boubou01re : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 12:53

Bah je sais pas trop non plus en même temps donc .. on a fait un exo récemment et pour démontrer une relation d'équivalence bah on a bel et bien démontrer qu'elle était symétrique, réflexive et transitive .. ca devrait aller donc

Pour la 2) ca change quelque chose que la congruence modulo a soit une relation d'équivalence sur \mathbb{C} ou sur \mathbb{R} ? En plus \mathbb{R} n'est pas une partie de \mathbb{C} ? A vrai dire je sais pas comment m'y prendre lol

Posté par
mellepapillonre : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 13:19

c'est toujours comme ça les maths ! et c'est ça qui fait son charme. Si R est une partie de C, les réels ne sont que des cas particuliers de C non ? ( ce sont juste des éléments qui ont une partie imaginaire nulle) par contre C n'est pas une partie de R mais tu peux créer une bijection de c dans ^2, enfin c'est une autre histoire

supposons x congru à y modulo 2 donc il existe k tel que x= y + ka , comme a est réel , ka est aussi un réel donc si tu raisonnes entre partie réelle et partie imaginaire de tes élements complexes x et y tu tends compte que ceci implique que x et y aient la même partie imaginaire ! la congruence, si a est réel n'agit donc que dans les réels...et plus dans C ( seul la partie réelle est modifiée )
Je te laisse rédiger ça bien joliment...voilà pourquoi R et plus C !

Posté par
boubou01re : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 14:16

Donc si j'ai bien compris ton raisonnement précédent, pour la question 1) on aurait pu remplacer a par 2+ib ou encore 2 ou encore i ? Donc c'est pour cela qu'on a fait la démonstration dans C. Puis pour la question 2 on prend un cas particulier de a (qui est désormais réel) et donc par conséquent la congruence modulo a est une relation d'équivalence sur R. Je crois que j'ai compris le truc^^

Pour la 5) penses tu qu'il y a une erreur dans l'énoncé ou pas ?

Posté par
boubou01re : [PCSI] Sur la congruence .. 14-10-07 à 20:39

Humm .. désolé pour le multi-post .. mais quelqu'un pourrait-il m'aider pour la suite ?

Posté par
Pecere : [PCSI] Sur la congruence .. 01-11-07 à 23:39

Pas d'erreur dans l'énoncé du 5 ! Il suffit de revenir à la définition.

Soit (x,y,a,b) \in \mathbb{C}^4
x \equiv y[a] \Leftrightarrow \exist k \in \mathbb{Z}, x=y+ka \Leftrightarrow \exist k \in \mathbb{Z}, xb=yb+k(ab) \Leftrightarrow xb \equiv yb[ab]

Posté par
Pecere : [PCSI] Sur la congruence .. 01-11-07 à 23:42

Hum... dsl sur le post précédent, l'équivalence n'est conservée que pour b non nul, donc on a juste une implication si b est quelconque.

(Dites, on peut pas éditer les posts sur ce forum ?)

Posté par
Cauchyre : [PCSI] Sur la congruence .. 02-11-07 à 00:01

Et non on peut pas


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