Niveau Reprise d'études

Période d'un développement

Posté par
mikel83 23-02-25 à 14:17

Bonjour!
J'ai démontré que :
1/998001=1/10⁶ (1+2/10³+3/10⁶+4/10⁹+5/10¹²+.... ) = 0,000 001 002 003 004 005 .....)
Mais comment démonter que cette série à une période 2997 ?

Posté par re : Période d'un développement 23-02-25 à 15:43

salut

et si tu nous donnais l'énoncé exact et complet de l'exercice ...

Posté par re : Période d'un développement 23-02-25 à 16:00

on peut deviner que $998001 = (1000 - 1)^2$

donc $\dfrac {10^6} {(1000 - 1)^2} = \left ( \sum_0^{+ \infty} \left(10^{-3} \right)^k \right)^2 = \sum k \times 10^{3 - 3k}$

Posté par re : Période d'un développement 23-02-25 à 17:02

Bonsoir,
en supposant que l'on s'intéresse à la période du développement décimal de 1/998001 on sait que c'est un diviseur de 998000.
Ce que n'est pas 2997.

À carpediem.
Salut,
tu fis une typo dans ton second message : il manque un 10³ dans le terme du milieu.

Posté par re : Période d'un développement 24-02-25 à 09:29

Bonjour!
Merci pour vos réponses!
Par contre, il y a une coquille dans ma dernière phrase: il faut lire "comment démontrer que la longueur de la période est 2997"

Posté par re : Période d'un développement 24-02-25 à 18:06

Bonsoir,
La réponse de Verdurin n'est pas correcte ; elle le serait si 998001 était premier, ce qui n'est pas le cas.
La période est l'ordre multiplicatif de 10 modulo 998001. Autrement dit, c'est le plus petit entier $k>0$ tel que 998001 divise $10^k-1$ .
On peut voir que $998001=(10^3-1)^2$ divise $10^{2997}-1=(10^3)^{10^3-1}-1$ . En posant $b=10^3$ , montrer que $(b-1)^2$ divise $b^{b-1}-1$ .