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Petit calcul

Posté par lechoriste (invité) 03-11-05 à 15:23

Salut à tous, voila notre prof nous a posé un petit exo de j'aimerai vérifier auprès de vous .
Je dois montrer que la valeur approchée de (257) à 2-12 près est ou n'est pas 16 + \frac{1}{32}. En gros si c'est vrai ou faux.
Alors j'ai pensé faire ceci.
On a :
(16+\frac{1}{32})^2=256+1+\frac{1}{32^2}
(16+\frac{1}{32})^2=257+\frac{1}{32^2}
(16+\frac{1}{32})=(257+\frac{1}{32^2}).
Donc ce qui montre que c'est faux car \frac{1}{32^2}>2-12.
Voici mon raisonnement.

De plus j'ai juste une question d'ordre culturel. J'aimerai savoir pourquoi tan(arctanx)=x.
Merci à tous

Posté par
piepalmre : Petit calcul 03-11-05 à 15:59

Attention, c'est(257+1/32²)-257 qu'il faut évaluer soit
257((1+1/(257*32²))-1=257(1/(2*257*32²)-, où est de l'ordre de (1/(2*257*32²)²
et comme 1/(2*257*32²)=1/526336 <2^-12, je crois bien que c'est juste (la plus bête des calculettes doit pouvoir le confirmer...

Posté par lechoriste (invité)re : Petit calcul 03-11-05 à 16:48

ah oui merci j'avais oublié la seconde racine, merci beaucoup piepalm. Pour la question avec la tangente c'est bon je viens de trouver.
merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Petit calcul 03-11-05 à 17:00

Bonjour lechoriste;
(*)Tu pourras commencer par montrer que:
4$\fbox{(\forall x\ge0)\\1+\frac{x}{2}\ge\sqrt{1+x}\ge1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}} (par passage au carré par exemple)
aprés tu dis que:
3$\fbox{sqrt{257}=sqrt{16^2+1}=16sqrt{1+\frac{1}{16^2}}\ge16(1+\frac{\frac{1}{16^2}}{2}-\frac{\frac{1}{16^4}}{8})=16+\frac{1}{32}-\frac{2}{16^4}} et donc que 4$\fbox{0\le16+\frac{1}{32}-sqrt{257}\le\frac{2}{16^4}=\frac{1}{2^{15}}<2^{-12}}
(*)Si 3$\fbox{f{:}E\to F} est une bijection de bijection réciproque 3$\fbox{g{:}F\to E}alors 4$\fbox{et\{{gof=Id_E\\fog=Id_F} c'est à dire que 5$\fbox{et\{{(\forall x\in F)\hspace{5}f(g(x))=x\\(\forall x\in E)\hspace{5}g(f(x))=x}
Ainsi pour par exemple 5$\fbox{f=tan\hspace{5}{:}\hspace{5}E=]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\to F=\mathbb{R}} et 5$\fbox{g=arctan\hspace{5}{:}\hspace{5}F=\mathbb{R}\to E=]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[} tu as en particulier que:
5$\blue\fbox{(\forall x\in\mathbb{R})\hspace{5}tan(arctan(x))=x}

Sauf erreurs bien entendu


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