1)
G(x)=F(x)+F(-x)

G'(x)=F'(x) - F'(-x)

Or F'(x)= 1/(1+x²)
->  F'(-x) = 1/(1+x²)

-> G'(x) = 0
-----
2)
G(x)=F(x)+F(-x)
G(0)=F(0)+F(0)
G(0)=2.F(0)
Or F(0) = 0 ->
G(0) = 0

Comme G'(x) = 0, G(x) est une constante
Et avec G(0) = 0, on a donc G(x) = 0 pour tout x
-> F(x)+F(-x) = 0
F(x) = -F(-x) et F est impaire.
-----
3)
H(x)=F(x)+F(1/x)
H'(x) = F'(x) - (1/x²).F'(1/x)

Avec x dans ]0 ; oo[, on a aussi (1/x) dans ]0 ; oo[, donc comme  F'(x) existe sur I, F'(1/x) existe aussi sur I.
-> H'(x) existe sur I.

H'(x) = 1/(1+x²) - (1/x²).1/(1+(1/x)²)
H'(x) = 1/(1+x²) - (1/x²).1/(1+(1/x)²)
H'(x) = 1/(1+x²) -  1/(1+x²)
H'(x) = 0 et donc H(x) est constante
-----
4)
H(x)=F(x)+F(1/x)
H(1)=F(1)+F(1/1)
H(1)=2F(1)
et comme H(x) est constabnte ->
H(x) = 2F(1) pour tour x de I
-----
5)
lim(x->oo) H(x) = lim(x->oo) F(x) + lim(x-> oo) F(1/x)
lim(x->oo) H(x) = lim(x->oo) F(x) + F(0)
Or H(x) = 2F(1) pour tout x de I -> lim(x->oo) H(x) = 2F(1) et on a:

lim(x->oo) F(x) + F(0) = 2F(1)
lim(x->oo) F(x) + 0 = 2F(1)
lim(x->oo) F(x) = 2F(1)
-----
6)
T(x)=F(tg(x))-x.

T'(x) = (1/cos²(x)).F'(tg(x)) - 1

T'(x) = (1/cos²(x)).1/(1+tg²x) - 1

Or 1+tg²(x) = 1/cos²(x) ->

T'(x) = 1 - 1 = 0

Donc T(x) est une constante sur ]-Pi/2 ; Pi/2[
-----
7)
T(0) = F(0) - 0 = 0
-> T(x) = 0 sur  ]-Pi/2 ; Pi/2[

T(Pi/4) = 0 = F(tg(Pi/4)) - Pi/4
tg(Pi/4) = 1 ->
F(1) - (Pi/4) = 0
F(1) = Pi/4
-----
8)
F'(x)=1/(1+x²)
-> F '(x) > 0 pour tout X de R -> F(x) est partout croissante.
-----
9)
F est impaire.
lim(x->oo) F(x) = 2F(1) = 2.Pi/4 = Pi/2
-> lim(x-> -oo) F(x) = -Pi/2

Les asymptotes horizontales à C ont pour équation:
y = -Pi/2 du coté des x négatifs.
y = Pi/2 du coté des x positifs.

Tangentes:
F'(0) = 1 et F(0) = 0 -> la tangente en O a pour équation: y = x (première bissectrice des axes)

F'(1) = 1/(1+1) = 1/2
F(1) = Pi/4 -> la tangente en x = 1 a pour équation:
y - (Pi/4) = (x-1).(1/2)
y = (1/2)x - (1/2) + (Pi/4)

Comme F est impaire, l'équation de la tangente en -1 est: y = (1/2)x + (1/2) - (Pi/4)

Graphe: voir dessin (je n'ai pas dessiné les tangentes et asymptotes).
Attention le repère choisi pour mon dessin n'est pas orthonormé.
-----
Sauf distraction.  

Bonjour,

Je ne comprends pas comment vous passez de G(x)=F(x)+F(-x) à G'(x)=F'(x) - F'(-x)


Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

Merci beaucoup !

Bonjour



On en déduit :



Or , la dérivée de F(-x) est -F'(-x)
On en déduit :

c'est a dire :

Merci beaucoup, j'avais saisi ce raisonnement, mais ce que je ne comprends pas c'est ceci :
"Or , la dérivée de F(-x) est -F'(-x)"

Est-ce vrai pour toutes les fonctions ? Que dans ce cas ?

Encore merci

Re

N'oublions pas que F(-x) n'est rien d'autre que la composée de F et de

Donc

On veut calculer (F(-x))' , c'est a dire :


On connait la formule de dérivation d'une formule composée :


Or ,
Donc :

C'est a dire :

D'accord, j'ai compris !

Merci beaucoup.

Ciao

Bonjour ,
ALors voila jusqu'à présent jsuis d'accord avec vous mais la j'ai un probleme , c'est pour la question 3 , comment faites vous pour calculer la dérivée de F(1/x) ????
Voila merci beaucoup , a bientot emmanuelle

Cela est pareil que pour le calcul de la dérivée de F(-x) . En effet , est la composée de et de

la dérivée de cette derniére étant :

On en déduit d'aprés la formule donnée dans mon post précédent :

Bonjour ,
J'ai un petit problème ,on sait que F est une fonction definie et derivable sur R telle que F(0)=0 et que F'(x) = 1 / (1+x²) et on ne cherche pas a connaitre une expression de F.
Et on H(x) = F(x) + F(1/x) definie Sur ]0 ; +OO[
et il faut calculer la dérivée de H(x) mais jvois pas comment on fait pour F'(1/x) donc si vous pouviez m'aider ??? merci beaucoup , Emmanuelle

*** message déplacé ***

Pas de multi-post s'il te plais Emmanuelle

en plus je t'ai répondu , c'est pas trés gentil de ta part de faire ça

Jord

J'ai toujours pas compris , car j'ai jamais vu d/dx
Donc voila si tu pouvais me réexpliquer stp ??

Bonjour

est une autre façon d'exprimer la dérivée de U(x) ( appelée notation différentielle )


Jord

merci pour les réponses du dm je suis sauvé merci merci merci merci