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petit exercice complexe ...
bonjour a tous,
voila j'ai un exo de maths a faire pr demain et je ne sais pas trop quoi faire voila mon enocé :
un cylindre de diametre intérieur 10cm contient de l'eau jusqu'a une hauteur de 4cm.
On immerge une boule qui affleure juste la surface de l'eau ( cad que le plan de cette surface est tangent a la boule).
Quel est a 0,1 mm pres, le rayon de la boule
Le probllme equivaut a la resolution du systeme :
2x^3 - 75x + 150 = 0
0 < (ou égal) x < (ou égal) 5
VOILA j'ai commencé et ca me donne
0 < 2x^3-75x < 10x^2 - 375 .... et je vois pas quoi faire par la suite
Bonjour
trois racines réelles
x=-6.95
x= 2.34
x= 4.61
Méthode graphique, sinon Cardan
Philoux
Re
sinon, va voir un ancienne énigme de J-P avec des compléments d'énigme que j'avais rajouté et qui traitent de ton problème.
Un aquarium mini mini.
lis les corrections détaillées...
Philoux
oups
j'avais pas vu :
0 < (ou égal) x < (ou égal) 5
dans ce cas, ne garder que les 2 positives :
x= 2.34
x= 4.61
Philoux
A partir de
2x³ - 75x + 150 = 0
0 <=x <= 5
On peut montrer que la méthode dichotomique est applicable et puis l'appliquer.
f(x) = 2x³ - 75x + 150
f '(x) = 6x²- 75 = 3(2x²-25)=3(V2x-5)(V2x+5) = 6(x - (5/V2)).(x + (5/V2)) (avec V por racine carrée).
f '(x) < 0 pour x dans [0 ; 5/V2[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 5/V2
f '(x) < 0 pour x dans ]5/V2 ; 5] -> f(x) est croissante.
Il y a un min de f(x) pour x = 5/V2, ce min vaut f(5/V2) = -26,... < 0
f(0) = 150 > 0
f(5) = 25 > 0
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f(x) est continue dans [0 ; 5]
f(0) = 150 > 0
f(x) est décroissante sur [0 ; 5/V2[
f(5/V2) < 0
De ces 4 lignes on conclut qu'il y a une et une seule solution à f(x) = 0 dans [0 ; 5/V2[
---
f(x) est continue dans [0 ; 5]
f(5/V2) < 0
f(x) est croissante sur ]5/V2 : 5]
f(5) > 0
De ces 4 lignes on conclut qu'il y a une et une seule solution à f(x) = 0 dans ]5/V2 ; 5]
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Un des boules possibles correspond donc à x dans ]5/V2 : 5], f(x) est monotone dans cet intervalle, on peut donc utiliser la méthode d'approche dichotomique pour évaluer la valeur de x pour laquelle f(x) = 0.
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f(5/V2) < 0 et f(5) > 0 --> la valeur xo de x pour laquelle f(x) = 0 est dans ]5/V2 ; 5]
Avec 5/V2 = 3,53...
((5/V2)+5)/2 = 4,3 environ
f(4,3) = -13,... < 0 --> x0 est dans ]4,3 ; 5[
(4,3+5)/2 = 4,6 environ.
f(4,6) = -0,2... < 0 --> x0 est dans ]4,6 ; 5[
(4,6+5)/2 = 4,8
f(4,8) = 11,... > 0 --> x0 est dans ]4,6 ; 4,8[
(4,6+4,8)/2 = 4,7
f(4,7) = 5,... > 0 --> x0 est dans ]4,6 ; 4,7[
(4,6+4,7)/2 = 4,65
f(4,65) = 2,... > 0 --> x0 est dans ]4,6 ; 4,65[
(4,6+4,65)/2 = 4,625
f(4,625) = 0,9... > 0 --> x0 est dans ]4,6 ; 4,625[
(4,6+4,625)/2 = 4,61 environ.
f(4,61) = 0,19... > 0 --> x0 est dans ]4,60 ; 4,61[
Et cela suffit, on a donc x0 est dans ]4,60 ; 4,61[ cm (donc la précision est meilleure que 0,01 cm soit 0,1 mm).
xo est la mesure du rayon cherché.
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On fait pareil pour x dans [0 ; 5/V2[
et on finit par trouver la seconde solution x0 dans ]2,34 ; 2,35[
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Il y a donc 2 boules qui conviennent, elles ont un rayon dans ]2,34 ; 2,35[ cm pour l'une et dans ]4,60 ; 4,61[ cm pour l'autre.
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Sauf distraction. 
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