Bonjour,
Je voudrai de l'aide pour ce petit execice sur l'intégration.
Merci d'avance

ind=indice
I ind n = (1 à e) x(ln x)^n

Calculer I ind 1.

Je trouve I ind 1= (e²+1)/4 en intégrant par parties.

Montrer que 2I ind (n+1) + (n+1)I ind n=e² (indice: intégrer I ind n+1)

Là, j'intègre par parties I ind n+1 et je trouve:
(e²/2)- [(e^(n+3))/(2(e+2))]-[(e^(n+2))/(n+2)] + (n/(n+2)) +(1/(n+2)).
Mais ensuite, je ne sais plus comment faire.

En déduire I ind 2.
Je trouve, I ind 2=(3e²-1)/4.

Montrer (I ind n) est décroissant. En déduire que e²/(n+3)=<I ind n=<e²/(n+2).
Je pense qu'il faut faire I ind n+1 - I ind n mais je n'ai pas réussià calculer I ind n.

lim I ind n?
On a lim I ind n =0 d'après le théorème des gendarmes (lim e²/(n+3)=lim e²/(n+2)=0.

lim (nI ind n)?
lim (nI ind n)= + oo d'après le théorème des gendaremes en utilisant:
e²/(n+3)=<I ind n=<e²/(n+2).