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petit problème sur un devoir
voici l'énnoncé :
f est une fonction définie et dérivable sur R. ella une asymptote
oblique D et une tangente T au point d'abscisse 0 d'ordonnée
1 d'équation : y=(1-e)x+1. On sait que le point J(0;1) est entre
de symétrie de la courbe C représentative de f et ke D passe par
les points K(-1;0) et J.
1) on a l'équation de D : y= x+1
2) on suppose qu'il existe des réels m et p, et une fonction g
définie sur R telle que:
f(x)=mx+p+g(x) avec limite de g(x) en + l'infini = 0
a) on trouve m=1 et p=1
je bloque sur les questions suivantes :
b) Démontrer que pour ttout réels x, f(x)+f(-x)=2.
c)En déduire que la fonction g est impaire puis que la fonction f',
dérivée de f, est paire.
3) On suppose maintenant que, pour tout reéel x:
g(x)=(ax+b)e^(-x²) où a et b sont des réels. démontrer en utilisant les données et les
résultats pécédents que
a=-e : et b=0
b)Si J(x0,y0) est centre de symétrie de ta courbe alors pour tout
a on a :
(f(x0+a)+f(x0-a))/=y0 (fais un dessin )
Tu appliques ça avec x0=0,y0=1 et a =1.
Tu obtiens f(x)+f(-x)=2
c) comme ta courbe se comporte à l'infini comme (D) tu te doutes
bien que m=1 et que p=1 (puisque g tend vers 0 en l'infini)
{preuve en bonus!
g(x)+(m-1)x+(p-1)=f(x)-(x+1) tend vers 0 en l'infini
(par définition de l'asymptote)
donc g(x)+(m-1)x+(p-1)tend vers 0 en l'infini.
De plus g(x) tend vers 0 donc la fonction affine (m-1)x+
(p-1) aussi, elle est donc constamment nulle (fais un
dessin)
donc on a bien m=1 et p=1
}
Donc f(x) = x + 1 + g(x)
f(-x)= -x + 1 + g(-x)
on somme les 2 et on se rappelle que f(x)+f(-x)=2
On obtient alors g(x)+g(-x)=0
donc g(x)=-g(-x) et g est impaire
en dérivant f(x)+f(-x)=2
on trouve
f'(x)-f'(-x)=0 (dérivée d'une composée f(-x))
donc f'(x)=f'(-x) et f' est paire
3)
f(x)=x+1+(ax+b)e^(-x^2)
f(-x)=-x+1+(-ax+b)e^(-x^2)
on somme
2=2+be^(-x^2)
donc on peut choisir x=0 et on trouve b=0
f(x)=x+1+axe^(-x^2)
donc
f'(x)=1+ae^(-x^2)-2ax^2e^(-x^2)
f'(0)=1+a
or f'(0)=1-e (regarde l'équation de T et la définition d'une
tangente)
donc a=-e
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