salut

peut-on diviser par 0?

Salut,
si le jury t'embetes avec ça...tu peux dire que le pgcd est défini par l'unique entier positif d tel que aZ+bZ=dZ
donc pour (0,0) y'a pas de probleme...

aprés c'est sur qu'avec cette définition,on peut toujours chipoter en 0...

Non je n'ai pas dit ça je dis juste qu'avec la définition que je donne pgcd(0,0) vaut 0 et donc que justement il y a une contradiction avec la défintion plus intuitive du pgcd

mais 0 est bien le plus grand commun diviseur de (0,0) non?
pour la relation d'ordre "divise" dans N

Merci robby3 mais en se servant des idéaux, on a aussi que 0+0=0 donc que pgcd(0,0)=0 ma question est justement :

Que dois je répondre au jury s'ils me demandent pourquoi pgcd(0,0)=0 alors qu'on ne peut pas diviser par 0 ? Et dois je le préciser dans l'exposé ou attendre la question du jury?

je répète:

PEUT-ON DIVISER PAR 0?????!!!!!

et bien l'un ou l'autre,s'ils veulent t'embéter avec ça ils t'embetront
si tu le met dans ta leçon comme convention, tu vas dire quoi?
on pose pgcd(0,0)=0 car on peut pas diviser par 0??

Oui c'est vrai c'est délicat... sinon on peut dire dans la définition que les entiers a et b ne sont pas simultanément nul comme ça pas besoin de s'occuper de ce cas là mais c'est un peu lourd à ressortir dans tous les théorèmes qui utilisent le pgcd...

Dans son livre sur l'oral 1, Dany-Jack Mercier dit que 0 est bien le plus grand diviseur de 0 et 0 puisque c'est :
- un diviseur de 0
- le plus grand entier naturel pour la relation "divise"

il considère en fait que 0 est le plus grand diviseur commun de a et b pour la relation "divise" sur N (au lieu de considérer la relation d'ordre usuelle "inférieur ou égal").

Enfin c'est tordu quand même et je ne me vois pas argumenter sur ça devant le jury...

bonjour,

pourquoi pas définir le pgcd de a et b de cette façon:

ici pas de problème avec le diviseur de 0 vu que cet ensemble contient toujours 0 et si a ou b vaut 0, cet ensemble est réduit à

humm...
je vois toujours pas comment régler le soucis avec la définition de Mr Mercier

oui autant pour moi cet ensemble contient pas zéro, mais ce n'est pas un problème.

un entier b divise a si il existe un entier c tel que c=ab.

avec cette définition de la divisibilité, on a bien 0 divise 0 et c'est le seul diviseur de 0.

non pas le seul, tous les entiers divise 0

Je dirai plutot un entier b divise a si il existe un entier c tel que a=bc, or tout c dans N convient pour a=b=0 ??

il ne faut pas rester coller à un cours mais s'en inspirer

à priori on ne divise pas par 0 et quand on parle de diviseur on sous-entend un nombre non nul

d'autre par avec la déf de romu pgcd(0,0)=+

... et pgcd(0,a)=a...avec a0

cette définition me semble bizarre car le "pgcd" est par définition un entier...non?

c'est vrai, difficile de se passer de la convention alors pgcd(0,0)=0

Oui j'aimerai bien sauf que je vais avoir des questions du style peut on diviser par 0 ? et là euh......

Je crois que je vais prendre cette voie là et s'ils me posent la question du pgcd(0,0) je la jouerai honnête et je dirai que ce cas est un peu particulier, que l'on peut poser par convention pgcd(0,0)=0 car cela vérifie bien la définition donnée avec les idéaux de Z par exemple mais que cela entre un peu en contradiction avec la définition "intuitive" du pgcd.

Par contre une dernière question, comment sait t'on que

pareil,ça pose le soucis de définir 0/0

Oui... difficile de répondre à ça quand ça fait 15 ans qu'on nous dit "il est interdit de diviser par 0"

J'ai regardé dans un livre de TS spé maths, la définition du pgcd est la même que celle que j'ai proposée plus haut et ils n'excluent pas le cas (a,b)=(0,0)..., il faut souhaiter au prof que les élèves ne se posent pas trop de questions

effectivement ça m'étonnerait qu'un prof te pose cette question

d'autre par pgcd(a,a)=a pour a non nul mais cela a-t-il un intérêt?
ce qui intéresse c'est ab et a et b non nulSSS

donc joublierai ce cas qui est d'ailleurs sans intéret

Ca ne pose aucun probleme vis a vis de la definition du pgcd...
Le pgcd c'est le plus grand diviseur commun au sens de la relation d'ordre definie par la divisibilité ppour cette relation d'ordre 0 est maximal...
Y a aucun souci...

quant à 0/01 ça fait n'importe quoi:
2x/x=2 et 3x/x=3 donc pour x=0 2=3....

Oui bien sur, une relation d'rrdre est par definition reflexive, antisymetrique transitive.
Il est assez clair que la relation de divisibilité (dans N) est une raltion d'ordre.
Pour cette relation 0 est maximal dans le sens ou tout element de N divise 0 y compris 0.  
LE pgcd est bien le plus grand diviseur au sens de cette relation, c'est la propriété si d est un diviseur commun de a et b il divise le pgcd de a et b

Je n'ai pas compris la définition du PGCD donnée dans le message initial.

Exemple:
Le nombre 4 a pour diviseurs 1 , 2 et 4
Le nombre 16 a pour diviseurs 1 , 2 , 4 , 8 et 16

D(4) = {1 ; 2 ; 4}
D(16) = {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16}

D(4) intersection D(16) = {1 ; 2 ; 4}

Et donc D(d) = {1 ; 2 ; 4}

Et d (qui peut prendre 3 valeurs différentes) n'est donc pas l'unique entier tel que D(4) intersection D(16) = {1 ; 2 ; 4} = D(d)
  

salut,
mais {1,2,4}
donc pgcd(4,16)=4 non?

Le seul entier naturel d dont l'ensemble des diviseurs est {1;2;4} est l'entier 4 non?

De toute façon aprés 1h de réflexion sur la définition 1 (jsuis pas prête de l'avoir finie cette leçon ) j'ai décidé de prendre comme définition:

Soit (a,b)N² tels que (a,b)(0,0). PGCD(a,b) est l'unique entier d vérifiant :
d|a et d|b
d' , (d'|a et d'|b) d'|d

Cette définition est peut être finalement celle qui se rapproche le plus de l'intuition que l'on se fait sur qu'est ce que le pgcd, aprés chacun ses goûts...

euh la notion de plus grand apparait ou ça?

dans la deuxième ligne: si on prend un diviseur commun de a et b, alors celui ci est un diviseur du pgcd, ce qui montre que le pgcd est le plus grand des diviseurs communs, non?

...en prenant la relation "divise" comme relation d'ordre...
En fait on jongle toujours entre les relations d'ordre "divise" et "inferieur ou égal".

Du coup ma démo de l'existence n'est pas au point je crois : je dis que l'ensemble des diviseurs communs à a et b est non vide car contient 1 et que si d est un diviseur commun à a et b alors dmin(a,b) donc l'ensemble des diviseurs communs à a et b est un ensemble non vide et majoré dans N donc il admet un plus grand élément qui est définit comme le pgcd.

Dois je plutot mettre d|a et d|b donc d|min(a,b) donc l'ensemble des diviseurs communs à a et b est un ensemble non vide et majoré pour la relation d'ordre "divisibilité" dans N ???