Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Pgcd
Posté par Laurierie
Bonsoir, je sèche totalement sur un exercice d'arithmétique. J'ai tout essayé, sans succès.
Voici le court énoncé:
Soient a et b deux entiers. Montrer que PGCD(a²,b²)=(PGCD(a,b))².
Pourriez vous me donner une piste? Merci beaucoup 
Bonsoir.
Pour trouver PGCD(a,b), on "récupère" tous les facteurs premiers communs aux décompositions de a et b, avec le plus faible exposant. Si l'on passe aux carrés, ces exposants sont multipliés par 2 d'où le résultat.
Cordialement RR.
bonsoir,
tu sais que tous nombres peut se decomposer de maniere unique (a l ordre pres) en produit de facteurs de nombre premiers
a=
xi^ci,i=0..z
b=xi^di,i=0..z
il se peut que certain ci soit nul.
a²=xi^2ci,i=0..z
b²=xi^2di,i=0..z
on a donc pgcd (a²,b²)=(xi^(min (2ci,2di),i=0..z)
[pgcd(a,b)]²=[(xi^(min (ci,di),i=0..z)²
=(xi^(min (2ci,2di),i=0..z)
donc on a bien egalite
Bonsoir cqfd67 et raymon. Je n'avais pas pensé à exprimer le PGCD ainsi. Je vous remercie pour votre aide, je vais essayer de le refaire. Merci beaucoup,bonne soirée