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Niveau autre
pgcd
Posté par Alex715
Bonjour, j'ai un petit problème, je n'arrive pas à montrer que :
(a²+b²)^ab=(a^b)²
avec a et b deux entiers naturels non nuls.
merci
Bonjour ,
Le signe ^ est le pgcd? Si c'est le cas je comprend pas pourquoi tu trouves que c'est faux kaiser avec a=b=1 ca fait pgcd(2,1)=1=pgcd(1,1)² non?
Oups, j'avais pas fait attention ! 
Je pensais à la puissance et je ne voyais pas le lien avec le pgcd !
Désolé !
Deja il est clair que pgcd(a,b)/a et b donc (pgcd(a,b))²/a² et b² donc a²+b² mais divise aussi ab donc pgcd(a,b)² divise pgcd(a²+b²,ab).
Je vais essayer de me rattraper !
Notons et
.
Alors il existe a' et b' premiers entre eux tels que a=ma' et b=mb'.
Alors et
.
Ainsi d divise .
Ensuite, le fait que a' et b' soient premiers entre eux implique nécessairement que d est premier avec a' ou b'.
Supposons qu'il le soit avec a'.
Alors d'après le théorème de Gauss, d divise .
En particulier d divise et donc d divise
.
Ensuite, comme d est premier avec a', le théorème de Gauss permet de conclure.
Kaiser
Kaiser tu peux expliquer pourquoi d est premier avec a' ou b'? Je vois pas ou tu utilises que d divise a²+b² en fait.
Pour ta première question, je me rends compte que je me suis lancé un peu trop rapidement !
Par contre, pour ta deuxième question, j'utilise ce résultat en disant (sous réserve que ce soit vrai) que comme d divise et
, alors il divise la différence.
Kaiser
P.S : je réfléchis à la première question !
Merci en fait je pensais que tu l'utilisais sans l'ecrire pour montrer que d est premier avec a' ou b' j'avais lu un peu vite la fin. Je reflechis aussi a ma question 
j'y réfléchis aussi
je vais tenter un raisonnement par l'absurde et supposer que d n'est pas premier avec a' et b'.
Bon vous fatiguez pas c'est faux si on prend a = 12 et b =18 alors a'=2 et b'=3 avec m=6. On a a²+b²=12²+18²=468 divisible par 6 et 12*18 divisible par 6 donc d est un multiple de 6 donc il n'est premier ni avec 2 ni avec 3.
En fait, je crois vraiment que je suis passé à côté de quelque chose car il n'y aucune raison pour que cela soit vrai mais qu'à cela ne tienne : on peut contourner ce problème.
Reprenons :
Nous savons que d divise et
.
On déduit donc que d divise .
D'où d divise .
En particulier, il divise (car a' et b' sont premiers entre eux).
De même, d divise .
Finalement d divise (car a' et b' sont premiers entre eux).
Kaiser
P.S : en n'espérant ne pas m'être trompé ( ce qui n'est pas sûr a priori 
)
on a d/m²a'b'
comme a' et b' sont premiers entre eux, on a soit d/m²a' et d premier avec b', soit d/m²b' et b premier avec a'
si d/m²a', on a d/m²b' et comme d premier avec b', d/m²
on obtient la même chose dans le cas d/m²b'
Bien vu kaiser je cherchais plus une astuce dans ce genre joli 
P.S : A moins qu'Alex y voit une erreur
Alex j'ai l'impression que tu utilises le fait que d est premier soit avec a' soit avec b' or ce n'est pas toujours vrai.
Kaiser tu le fais ou ton master si c'est pas trop indiscret?
En fait tu dis que si n est un entier qui divise un produit de deux entiers a et b qui sont premiers entre eux alors il est forcément premier avec l'un d'entre eux, ce qui est faux
En effet, 6 divise 6=2*3 et pourtant ...
Cauchy En fait, à l'origine, je suis étudiant à l'ENS Cachan mais la partie maîtrise, je la fais à l'université de Jussieu.
Ok merci et Jussieu tu trouves ca comment? C'est pas trop blindé les amphis et les td ? Les profs sont disponibles? La bibliotheque est pas pleine a craquer?
Je te demande ca parce que je suis dans une petite fac et peut etre que je vais faire mon master la-bas.
Pour tout te dire, la bibliothèque, je n'y ai jamais mis les pieds.
Par ailleurs, mes cours ne se déroulent pas en amphi mais dans des salles normales (faut dire qu'on est au plus une trentaine à chaque fois).
En ce qui concerne la disponibilité des profs, ça dépend parce que certains sont responsables de labos et n'ont donc pas forcément le temps de répondre à nos éventuelles questions hors des heures de cours mais bon en majorité ça peut aller.
Sinon, la fac en elle-même, personnellement, je trouve que ça pourrait être mieux mais bon, on s'y fait !