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Niveau seconde
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pgcd-ppcm

Posté par angev1 (invité) 03-04-05 à 18:22

Bonjour à tous , pouvez vous me rapeller comment calcul-t-on le pgcd et le ppcm de deux nombres... merci de combler mon trou de mémoire

Posté par
Victor
re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 18:23

Plusieurs méthodes pour calculer le PGCD:
1) Algorithme d'Euclide
2) Algorithme de soustractions successives
3) Avec la décomposition en facteurs premiers.

Pour le PPCM :
1) En divisant le produit des deux nombres par le PGCD
2) en utilisant le décomposition en facteurs premiers.

Indique les méthodes que tu souhaites que je développe...

Posté par angev1 (invité)re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 18:31



Pour le pgcd je voulais savoir comment on fait la décomposition en facteurs premiers,et pour le ppcm aussi... Mais à votre avis y a t'il une meilleure méthode entre les deux qui vous m'avez proposé pour calculer le ppcm ?



mercimercimerci  

Posté par
Victor
re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 18:37

Les méthodes les plus rapides pour le PGCD et le PPCM sont celles qui n'utilisent pas la décomposition en facteurs premiers qui est souvent difficile à obtenir pour des grands nombres.

On décompose donc en facteurs premiers les deux nombres. Pour cela, on divise par 2 jusqu'à ce que l'on ne puisse plus le faire, puis par 3, puis par 5, ... jusqu'à obtenir 1
Exemple :
270 = 2*3*3*3*5=2*33*5

Ensuite quand on a la décomposition des deux nombres :
Pour le PGCD, on prend tous les facteurs qui apparaissent en même temps dans les décompositions des deux nombres et on prend l'exposant correspondant le plus petit des deux décompositions.
Pour le PPCM, on prend tous les facteurs apparaissant dans l'une des deux décompositions et on choisit l'exposant correspondant le plus grand.

Donne un exemple si tu veux des précisions...

Posté par angev1 (invité)re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 18:53




meric ! Pour l'exemple on va dire :

1) trouver le pgcd de 124 et 258

2) trouver le ppcm de 124 et 258

Posté par
Victor
re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 18:55

124=2*2*31=2²*31
258=2*3*43

donc PGCD(124;258)=2 car c'est le seule facteurs premiers apparaissant dans les deux décompositions et l'exposant le plus petit entre 1 et 2 est 1.

PPCM(124;258)=2²*3*31*43.
ou encore 124*258/2.

N'hésite pas à demander des précisions...

Posté par angev1 (invité)re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 19:06

En résumé pour le pgcd :

On divise 124 par 2 , puis par 2 , puis par 31
On divise 258 par 2 , puis par 3 , puis par 43

le nombre qui apparait ds les deux décomposition est le pgcd (ici 2 , ce qui veut dire que le nombre les plus grand qui peut diviser 124 et 258 est deux ?)

pour le ppcm on multiplie 124 et 258 puis on les divise par deux.. pouvez vous me dire pourquoi ?
Ou on prend les deux décompositions et on les réuni...


Merci

Posté par
Victor
re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 19:24

en fait, on a la formule :
PGCD(a;b)*PPCM(a;b)=a*b
donc PPCM(a;b)=a*b/PGCD(a;b).

Posté par angev1 (invité)re : pgcd-ppcm 03-04-05 à 19:30

merci pour vos réponses , elles m'ont bien aider



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