Sur un autre forum je me suis mis à parler de pi, de la circonférence d'un cercle et de l'aire d'un disque.... Voilà l'approche que j'en ai fait ....

Appellons pi la longueur d'un demi cercle et donc 2pi la longueur d'un cercle.
Démontrons tout d'abord que la longueur d'un cercle de rayon R vaut alors 2piR

Soit un cercle Cr de rayon et de centre O
Soit le cercle C1 de rayon 1 et de centre O
Soit u un vecteur fixe
Soit N un entier naturel tendant vers + l'infini
appellons da la mesure d'angle 380°/N

*Soient les N points Mn appartenant à Cr et d'angle (u,OMn)=n*da
Si N tend vers + l'infini, on a Cr = union des MnMn+1 avec n allant de 0 à N-1
(OMn,OMn+1)=da Donc tous les MnMn+1 sont égaux
D'où longueur de Cr=L(Cr)=N*M0M1

*Soient Nn les N points appartenant à C1 et d'angle (u,ONn)=n*da
Si N tend vers + l'infini, on a C1 = union des NnNn+1 avec n allant de 0 à N-1
(ONn,ONn+1)=da Donc tous les NnNn+1 sont égaux
D'où la longueur de C1=L(C1)=N*N0N1=2pi

*De plus, d'après Thalès, N0N1/M0M1=1/R
(Car n'oublions pas que comme N tend vers + l'infini, (M0M1) et (N0N1) sont des droites, parallèles qui se coupent en O
Or N0N1=2pi/N et M0M1=L(Cr)/N

On a donc (2pi/N)/(L(Cr)/N)=1/R
C'est-à-dire L(Cr)=2pi*R

Voilà ca c'est fait il me semble

*Ensuite, pour calculer l'aire du disque...Ce n'est que de l'intégrale... Mais expliquons pourquoi...
Si vous voullez je le fais avec plus de détails que tout à l'heure...

Soit Cr un cercle de centre O et de rayon R
Soit (D) une droite passant par O
Soit dx=R/N avec N tend vers + l'infini
Soient Mn les N points de (D) tels que OMn=n*dx
On A(Cr)=sigma de n=0 à N-1 des aires délimitées par les cercles de centre O de rayon OMn et OMn+1 qu'on notera simga de n=0 à N-1 des A(Cn,Cn+1)

* Déroulons nos bandes....
En effet, comme N tend vers + l'infini, les cercles Cn et Cn+1 ont même rayon ndx et donc même circonférence 2*pi*n*dx
Donc, en "déroulant cette bande", on a un rectangle de hauteur OMn+1-OMn=dx et de longueur L(Cn)=L(Cn+1)=2*pi*n*dx
Donc A(Cn,Cn+1)=dx*2pi*n*dx

*Donc A(Cr)=sigma de n=0 à N-1 de dx*2pi*n*dx
Et donc A(Cr)=integrale de 0 à R de 2pi*x*dx c'est à dire pi*R²

*Mais il est clair qu'il n'y a pas besoin de détailler comme ca pour comprendre que c'est l'intégrale.. Ca ya pas de problème, je suis d'accord !(sur le forum, beaucoup me critiquent )
Mais ce qui est sur, c'est que quand on utilise l'integrale pour l'aire du cercle, on ne fait qu'ajouter des rectangles !

* Dernier problème : calculer pi.... Et là je fais une méthode probabliste !!
J'aime bien...

Imaginons un cercle de rayon 1 inscrit dans un carré de coté 2...
Si l'on met au pif un point de coordonnées (x,y) dans le carré, la probabilité qu'il soit dans ou sur le cercle est A(cercle)/A(carré)=pi/4
avec x et y suivant une loi uniforme sur [0,1]
D'où pi/4=p(x²+y²<=1)
L'évènement x²+y²<=1 est l'union de n=0 jusqu'à N-1 des "ndx<=x>=(n+1)dx et y²<=1-n²dx²" avec dx=1/N et N tend vers + l'infini
D'où p(x²+y²<=1)=sigma de n=0 jusqu'à N-1 de dx*(2*sqrt(1-(ndx)²)/2)
D'où p(x²+y²<=1)=sigma de n=0 jusqu'à N-1 de dx*sqrt(1-n²dx²)
C'est à dire pi/4=integrale de 0 à 1 de sqrt(1-x²)
d'où pi=4 fois l'integrale de 0 à 1 de sqrt(1-x²)
Marrant non !

Bon, si on est dans le désert(avec un arbre), qu'on veut connaitre pi, mais qu'on a pas de calculette pour calculer l'intégrale... qu'on a pas de règle pour mesurer bout à bout un cercle, pas de panique !
On prend une grande feuille de l'arbre. A l'aide d'un cheveu, on dessine un cercle sur cette feuille puis un carré tel que le cercle y soit inscrit.
On tape au pif dans le carré avec un pti bout de branche...
On compte le nombre de coups dans le cercle, le nombre de coup hors du cercle, on multiplie par 4, et si on a 1 semaine devant soi pour faire mille coups et faire la division de tête, on trouve... 3,14 !!

Voili Voilo

Bonne soirée.
Jean