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Plan médiateur d'un segment.
Bonjour,
J'ai un DM à rendre mercredi et un des exercices me donne du fil à retordre :
"ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et de [GC]. Dessiner l'ensemble des points à l'intérieur du cube équidistants de I et de J."
Voici un aperçu du solide :
[URL=http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=774628Cube.png]
[/URL]
L'exercice est dit "ouvert", donc je peux faire ce que je veux tant que je le résous.
Pour résumer ce que j'ai fait, j'ai décidé de créer le repère orthonormé .
J'obtiens donc les coordonnées de I et J.
L'ensemble des points équidistants de I et J forme un plan, et il passe par le milieu du segment formé par ces deux points. Donc pour tout point M (x ; y ; z) appartenant à ce plan, on a . J'ai donc calculé les coordonnées des vecteurs
et
.
Après avoir mis en équation leur norme, j'obtiens une équation cartésienne du plan médiateur à [IJ].
Le problème qu'il me reste ... c'est dessiner le plan. Comment je peux le faire si je connais l'équation du plan ? De plus, j'ai l'impression qu'il ne passe par aucun sommet du cube.
Raxouuw.
bonjour,
simple suggestion:
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et de [GC]
si nous étions dans un espace à 2 dimensions, l'ensemble des points de I et de J serait la médiatrice de [IJ]
Mais nous sommes dans l'espace, alors ......................................
Bonjour,
On peut aussi chercher trois points de ce plan pour le définir
trois points particuliers du cube, ou à créer "facilement", qui seraient équidistants de I et de J
ensuite eh bien, il "suffira" de tracer la section du cube par ce plan là ...
j'ai l'impression qu'il ne passe par aucun sommet du cube.
si tu ne trouves pas que ce plan passe par ton origine, c'est que tu as fait une erreur dans ton équation.
(et un plan qui passe par l'origine "ça se voit" tout de suite sur son équation)
mais c'est aussi (comme pour la médiatrice dans le plan) l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
c'est comme on veut
pour les calculs de l'équation on peut faire comme a fait Raxouuw en écrivant que le point courant M(x;y;z) est tel que |MI| = |MJ| (par MI² = MJ²)
ou bien
K milieu de IJ (facile), puis écrire que le point courant M(x; y; z) est tel que le produit scalaire
en utilisant ta définition.
pour le construire et le tracer sur la vue en perspective par contre il vaut mieux le définir par trois points judicieusement choisis pour être "évidents à tracer" que par des perpendiculaires en perspective (brrr)
trois points dont on montre directement qu'ils sont équidistants de I et J ...
Bonsoir,
Merci de vos réponses. Je pense avoir trouvé la solution mais je ne suis pas sûr si la méthode que j'ai employée est valable ou non : Est-ce que je peux montrer l'existence de points appartenant au cube et au plan en même temps de façon "arbitraire" ? J'entends par là le fait de trouver des points appartenant au plan en disant que certaines combinaisons de coordonnées vérifient l'équation du plan, et que leurs points correspondants sont aussi sur le cube.
Par cette méthode, j'ai pu trouver 4 points :
L'équation cartésienne du plan que j'ai trouvée est -2x + y + z = 0 (J'ai testé l'autre méthode que tu as énoncé, mathafou, et j'ai obtenu la même chose).
Comme on n'a pas de constante dans l'équation, le plan passe par l'origine, donc D appartient à ce plan.
Pour x = 1, y = 1 et z = 1, l'équation est vérifiée, donc F appartient au plan.
Pour x = , y = 1 et z = 0, l'équation est vérifiée, donc le milieu de [BC] appartient au plan.
Pour x = , y = 0 et z = 1, l'équation est vérifiée, donc le milieu de [EH] appartient au plan.
Raxouuw.
donc D appartient à ce plan.
le milieu de [BC] appartient au plan.
et le milieu de IJ appartient au plan
Bonjour,
>>Raxouuw
Il n' est pas indispensable de passer par des équations pour prouver que:
avec
milieu de
avec
milieu de
Un simple coup d' œil au dessin suffit...
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