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Plans de l espace

Posté par Isatia (invité) 11-05-05 à 13:37

Bonjour
J'aurai besoin d'aide pour cet exercice (à partir de la 4e question, je bloque, j'ai réussi à faire les précédentes...)
Voici l'exercice :

Soit (A;OA;OB;OC) un repère orthonormal de l'espace.
1° On désigne par G l'isobarycentre des points A,B,C.
a) Déterminer les coordonnées de G.
b) Démontrer que la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC)

2°On considère les points:
    A'(2;0;0), B'(0;2;0) et C'(0;0;3).
a) Vérifier que ces trois points définissent un plan
b) Démontrer que le plan (A'B'C') a pour équation:
               3x+3y+2z=6.

3° Vérifier que la droite (AC) a pour réprésentation paramétrique:
            x=1-k
            y=0               Ou k
            z=k

Voilà où je bloque :

4° Calculer les coordonnées du point K commun à la droite (AC) et au plan (A'B'C')

5° Vérifier que la droite (BC) coupe le plan (A'B'C') en L(0;4;-3).

6° Démontrer que les droites (AB), (A'B') et (KL) sont parallèles.

7° Caractériser l'intersection des deux plans (ABC) et (A'B'C') à l'aide de points définis précédemment.

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par
dad97 Correcteur
re : Caractérisation d un plan 11-05-05 à 13:41

Bonsoir Isatia,

4) les coordonnées (x,y,z) du point d'intersection de ta droite et de ton plan vérifie l'équation du plan et l'équation paramétrique de la droite et voilà un système à quatre équations et quatre inconnues (x,y,z,k). à résoudre.

5)idem que 4 trouver la représentation paramétrique de (BC) et conclure de la même manière que 4)

6) comparer leur vecteur directeurs.

salut

*** message déplacé ***

Posté par drioui (invité)relans de l espace 11-05-05 à 14:19

A(1,0,0) ; B(0,1,0) ; C(0,0,1)
1)a)Xg=(Xa+Xb+Xc)/3 =1/3
    Yg=(Ya+Yb+Yc)/3 =1/3
    Zg=(Za+Zb+ZC)/3 =1/3
G(1/3,1/3,1/3)
-->                 -->                   -->
OG(1/3,1/3,1/3)     AB(-1,1,0)            AC(-1,0,1)
--> -->            
OG .AB=-1/3 +1/3 =0 donc (OG) perp à (AB)
-->  -->
OG . AC =-1/3+1/3=0 donc (OG) perp à (AC)
on en deduit que (OG) perp à (ABC)

Posté par drioui (invité)relans de l espace 11-05-05 à 14:30

4)(A'B'C'):3x+3y+2z=6 en remplace x ,y et z par leurs valeurs dans la represt parametrique de (AC) onobtient:
3(1-k)+3*0+2k=6 <=>k=-3 d'ou x=1-k=4 ;y=0 ; z=k=-3
donc K(4,0,-3)
5)on peut faire le meme travail que 4)

Posté par drioui (invité)re:plans de l espace 11-05-05 à 14:39

   -->                --->                      -->
6) AB(-1,1,0)         A'B'(-2,2,0)               KL(-4,4,0)
on remarque que :
--->   -->         --->     --->
A'B'=2 AB    et    KL   =4 AB
donc(AB)// (A'B') // (KL)



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