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Plans médiateurs, ensembles de points
Bonjour !
Voila, j'ai un DM pour lundi et j'aurai besoin de votre aide sur quelques points de cet exercice:
On prend pour prérequis le résultat suivant :
Etant donné trois point A, E et F de l'espace, l'ensemble des points M de l'espace qui vérifient .
=0 est un plan perpendiculaire a la droite (EF).
A.Soit [CD] un segment de l'espace de milieu K.
On appelle plan médiateur de [CD] le plan perpendiculaire en k à la droite (CD).
Démontrer que le plan médiateur de [CD] est l'ensemble des points de l'espace équidistants de C et D.
Comme le plan médiateur et le plan qui coupe le segment [CD] perpendiculairement en son milieu, il est forcément l'ensemble des points de l'espace équidistants a C et a D, a la manière de la médiatrice dans le plan. Mais je doute que ce soit un démonstration très convaincante ...
B. On considère les points ; A(0;4;-1), B(0;2;3) et C(0;0;2).
1°Déterminer une équation du plan P médiateur de [AB].
Le plan médiateur étant perpendiculaire a [CD], et donc son vecteur normal.
(0;-2;4) l'équation serai donc -2y+4z+d=0 (comment définir d? point obscure du cours pour moi ..)
Et pour le reste je ne vois pas comment procéder . . .
2°On admet qu'une équation du plan P' médiateur de [BC] est 2y+z-4,5=0.
Justifier que le point K(0;2;0.5) est un point de la droite D intersection des plans P et P' et déterminer un vecteur directeur de D.
3°L'ensemble des points M(x;y;z) qui vérifient y²+z²-4y-z-2=0 est-il:
-le cercle circonscrit au triangle ABC;
-la sphère de centre K et de rayon 2,5;
-un cylindre d'axe D ?
Si vous pouviez m'aider ce serai très sympathique de votre part !
Merci d'avance!
JFBELLO
Bonjour,
pour prouver la 1° question, considère un point M du plan médiateur.
CKM et DKM sont deux triangles rectangles en K.
Tu peux utiliser Pythagore pour prouver que CM²=DM². Donc que DM = CM (car les longueurs ne peuvent être négatives....
Pour la question 2), détermine les coordonnées du milieu de [AB].
et tu peux déterminer d..... car ce milieu appartient au plan médiateur....
J'allais oublier...
il faut démontrer que si un point est dans l'ensemble des points de l'espace équidistants de C et D
alors il appartient au plan médiateur de [CD].
Bonjour ! Merci de ton aide !
Si quelqu'un passe par là, j'ai trouvé la formule de l'équation cartésienne ax+by+cz+(-axA-byA-czA)=0
appliqué ici sur la B.1 je trouves comme équation -2y+4z+(-0*0-(-2*4)-(-1*4))=0 soit -2y+4z+4=0 est-ce la solution ? ? ?
bonsoir,
B. On considère les points ; A(0;4;-1), B(0;2;3) et C(0;0;2).
1°Déterminer une équation du plan P médiateur de [AB].
vecteur AB (0; -2; 4). ce vecteur est normal au plan médiateur.
milieu I de [AB] : I (0; 3; 1)
Equation du plan : 0 (x - 0) -2 (y - 3) + 4 (z - 1) = 0
d'où : -2y + 4z + 4 = 0
que l'on peut simplfier en : y - 2z - 1 = 0
Ce que tu as trouvé est juste.
...
bonsoir
soit (P) la plan médiateur de [CD] en K et M un point de (P) alors:
CM=DM ; en distance
ssi CM²=DM² ; car les distance sont postives
ssi CM²-DM²=0
ssi (CM-DM).(CM+DM)=0 ; produit scalaire de deux vecteurs CM-DM et CM+DM
ssi CD.(2KM)=0 ; car CM-DM=CD et 2KM=CM+DM car K est le milieu de [CD]
ssi CD.KM=0
voila pour le 1°
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