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Niveau seconde
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please help me J-P sinon tu serais un tré bô gosse et kikecesoi

Posté par margo (invité) 14-10-03 à 19:38


alor voila mes terribles equations:

1) x+1=3/x-1
2) x^2+x+1=7/x-1
3) x^3+x^2+x+1=15/x-1
4) x^4+x^3+x^2+x+1=31/x-1

Posté par hum (invité)re : please help me J-P sinon tu serais un tré bô gosse et kikec 14-10-03 à 20:47

déjà la première c'est

      3                    3
      --  -  1   ou  ------
      x                   x - 1

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : please help me J-P sinon tu serais un tré bô gosse et kikec 14-10-03 à 21:21

Pour être terrible, c'est terrible.

1)
Il faut x différent de 1 pour que le membre de droite existe.
(x+1) = 3/(x-1)
(x+1)(x-1) = 3
x² - 1 = 3
x² = 4
x = +/- 2
----------------
2)
x²+x+1=7/(x-1)
Il faut x différent de 1 pour que le membre de droite existe.

(x²+x+1)(x-1) = 7
x³ + x² + x - x² - x - 1 = 7
x³  = 8
x = 2

Si on veut aussi les solutions complexes:
x³- 8=(x-2).(x²+2x+4)=0
x²+2x+4 = 0
x = -1+/- racine(1-4)
x = -1 +/- i.V3
-------------------
3)
x³+x²+x+1=15/(x-1)
Il faut x différent de 1 pour que le membre de droite existe.
(x³+x²+x+1)(x-1) = 15
x^4+x³+x²+x-x³-x²-x-1 = 15
x^4 = 16
x² = +/- 4
x = -2
x = 2
et si les solutions complexes sont admises
x = 2i et x = -2i
--------------------------
4)
x^4+x^3+x^2+x+1=31/(x-1)
Il faut x différent de 1 pour que le membre de droite existe.

(x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1) = 31
x^5+x^4+x³+x²+x-x^4-x³-x²-x-1 = 31
x^5 = 32
x = 2
et si les solutions complexes sont admises
x^5 - 32 = (x-2)(x^4+2x³+4x²+8x+16)
-> x^4+2x³+4x²+8x+16 = 0
Dont on trouve les solutions, par exemple, en utilisant la méthode de
Ferrari.
Là, c'est un peu long, bien que facile, et je n'essaie pas.
...
---------------------------
Il est possible de faire autrement chaque fois:
Je ne le fais que pour le dernier, car dans ce cas c'est plus facile
et c'est probablement ce qu'attend le prof.

On arrive à:
x^5 = 32
On pose x = 2t
x^5 = 32t^5
-> t^5 = 1
et donc il suffit de trouver les racines 5 ème de l'unité.

t = cos(k(2Pi/5)) + i.sin(k(Pi/5))
avec k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 et 5

k = 0 -> t = 1 - > x = 2

k = 1 -> t =cos(2Pi/5) + i.sin(2Pi/5)
t = 0,309016994375 + 0,951056516295 i
-> x = 0,61803398875 + 1,90211303259 i.

je te laisse les calculs avec k = 3, k = 4 et k = 5 pour trouver les
3 racines restantes.
----------
Sauf distraction















Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : please help me J-P sinon tu serais un tré bô gosse et kikec 14-10-03 à 21:24

J'ai été distrait, je corrige la fin:

...
On arrive à:
x^5 = 32
On pose x = 2t
x^5 = 32t^5
-> t^5 = 1
et donc il suffit de trouver les racines 5 ème de l'unité.

t = cos(k(2Pi/5)) + i.sin(k(Pi/5))
avec k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4

k = 0 -> t = 1 - > x = 2

k = 1 -> t =cos(2Pi/5) + i.sin(2Pi/5)  
t = 0,309016994375 + 0,951056516295 i
-> x = 0,61803398875 + 1,90211303259 i.

je te laisse les calculs avec k = 2, k = 3 et k = 4 pour trouver les
3 racines restantes.
----------
Sauf nouvelle distraction.


Posté par margo (invité)re : please help me J-P sinon tu serais un tré bô gosse et kikec 14-10-03 à 21:45

rien capter la fin ... mais je vais quand même m'en contenter

Posté par hum (invité)re : please help me J-P sinon tu serais un tré bô gosse et kikec 15-10-03 à 07:00

en seconde ??????

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : please help me J-P sinon tu serais un tré bô gosse et kikec 15-10-03 à 11:43

J'espère que même en seconde, on a vu cela. C'était en
tout cas ainsi, il y a bien longtemps. Mais bon ...

J'essaie d'expliquer sans entrer dans les détails.

Quand on arrive à x^5 = 32  
On pose x = 2t    (1)
x^5 = 32t^5  
-> t^5 = 1  
Si on trouve les valeurs de t qui conviennent, on aura aussi les valeurs
de x par (1)

Les racines n ème de l'unité se trouvent ainsi:
On trace un cercle de rayon 1 et de centre O, avec un axe horizontal
(celui des réels) et un axe vertical, celui des imaginaires. Ces
axes se coupant au centre O du cercle.
Appelons A le point de coordonnées (1 ; 0)

On divise le cercle en n parties égales en partant du point A.

Si on part de l'un quelconque de ces  points (appelons le M), il
correspond à un nombre complexe X + iY avec X l'abscisse du
point et Y son ordonnée.
Si on veut élever ce nombre à la puissance n et trouver le point correspondant
sur le cercle, il suffit de faire tourner le point M sur le cercle
d'un angle = à n fois l'angle (OA , OM)

On remarque que cette rotation amène M sur le point A.

Donc M est l'image d'une des racines nème de l'unité et
par là,  x + iy est solution de l'équation t^n = 1.

Or X = 1.cos(OA , OM) et Y = 1.sin(OA , OM)
Et comme on a divisé le cercle en n parties égales, on a :

angle(OA , OM) = k(2Pi/n)  avec k entier de 0 à n-1

-> les solutions sont données par:
t = cos(k(2Pi/n)) + i.sin(k(2Pi/n))    avec k entier de 0 à n-1
---------------

Dans le cas particulier de l'exercice on a donc:
t = cos(k(2Pi/5)) + i.sin(k(2Pi/5))    avec k entier de 0 à 4
et
x = 2.cos(k(2Pi/5)) + i.[2.sin(k(2Pi/5))]    avec k entier de 0 à 4
-----------------------
Si tu continues à ne rien capter, laisse tomber.
Cependant cet exercice sent à plein nez la volonté du prof à demander cette
façon de résoudre.




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