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Posté par Profil Ramanujan 04-02-20 à 18:47

Bonsoir,

Soit A=\{ k \in \N , p^k \mid n \}

Je n'arrive pas à montrer que A majorée par n.

D'après le cours ça voudrait dire que \forall k \in  A \ x \leq n

Soit  k \in A alors p^k divise n il existe donc q non nul entier tel que n = q p^k

Après je bloque.

Posté par
XZ19re : Plus grand élément 04-02-20 à 18:51

Franchement je comprends rien, est-ce que tu crois que  A est bien défini?  

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 04-02-20 à 18:52

(re)

p est un nombre premier je présume ?

p 2

donc

pn> n

et pour tout entier kn , a fortiori, pk>[/smb]n

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 04-02-20 à 18:57

et, comme dit XZ19, pour n=0, A ne possède pas de majorant

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 04-02-20 à 18:57

Oui p est premier j'ai oublié la condition.

Je n'ai pas compris pourquoi p^n >n ni en quoi ça nous donne le résultat.

D'ailleurs je ne vois pas où on applique la définition d'une partie majorée.

Posté par
XZ19re : Plus grand élément 04-02-20 à 18:57

A=A(p)   me semble une application de $\N$ vers $\call{P(\N)}$     où  de  $\N^*$   vers $\call{P(\N)}$  
bref   on sait même pas ce qu'est p.  

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 04-02-20 à 18:58

matheuxmatou @ 04-02-2020 à 18:57

et, comme dit XZ19, pour n=0, A ne possède pas de majorant


n est un entier non nul et p un nombre premier.

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 04-02-20 à 18:59

Ramanujan

t'en connais beaucoup des diviseurs de n qui sont plus grands que n ?

et écris tes énoncés proprement

Posté par
XZ19re : Plus grand élément 04-02-20 à 18:59

J'ai pas vu la réponse.  
Il manque donc " soit p un nombre premier" et A=.....

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 04-02-20 à 18:59

XZ19

si on veut être rigoureux c'est même An,p !

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 04-02-20 à 19:03

Mais c'est quoi le rapport avec A majoré par n ?

La définition c'est pour tout k  \in \N \ \ k \leq n

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 04-02-20 à 19:07

et c'est reparti

bon allez on résume

soit n un entier naturel non nul et p un nombre premier

on note An;p = {k ; pk divise n}

1 : établir que pn > n
2 : en déduire que pour tout k n , on a pk > n
3 : en déduire que pour tout entier k n , kAn,p
4 : en déduire que An,p [[0 ... (n-1)]]
5 : en déduire que An,p est majoré par n

ça va comme ça ?

Posté par
Ulmierere : Plus grand élément 04-02-20 à 19:12

Ramanujan @ 04-02-2020 à 19:03


La définition c'est pour tout k  \in \N \ \ k \leq n


Donc n+1\leqslant n, tout va parfaitement bien...
Si tu avais utilisé la fonction aperçu, tu nous aurais évité à tous de saigner des yeux.

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 04-02-20 à 19:14

Ah ouai tout ça

Dans mon livre l'auteur le fait en 1 ligne et dit que c'est évident par récurrence directe.

Je n'arrive même pas à faire le point 1 p^n >n

Posté par
XZ19re : Plus grand élément 04-02-20 à 19:15

Ramanujan @ 04-02-2020 à 18:47


D'après le cours ça voudrait dire que \forall k \in  A \ x \leq n


et ça veut dire quoi. Comprenne  qui veut bien.

Et puis @matheuxmatou a donné la réponse.

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 04-02-20 à 19:17

ben oui normalement ça se fait en 1 ligne
mais comme il faut moudre les raisonnements très fins pour que tu les suives, je détaille !
(et visiblement faut encore moudre plus fin !)
alors

p = 1+u    avec u1

binôme de Newton

pn = 1 + nu + .... > 1+n > n

Posté par
Ulmierere : Plus grand élément 04-02-20 à 19:35

Ou sans l'inégalité de Bernoulli, par récurrence
p^1 = p \geqslant 2 \geqslant 1 et si p^n\geqslant n, alors p^{n+1} = p^n\times p \geqslant np \geqslant 2n \geqslant n+1, car 2n-(n+1) = n-1 \geqslant 0.

Ou en remarquant que p\geqslant 2 \imples \forall n\in\N^\ast, p^n\geqslant 2^n, étudier le signe de la fonction x\mapsto 2^x-x sur [2,\infty), qui est positive (car croisssante car dérivable de dérivée x\mapsto \ln(2)2^x-1 croissante, donc supérieure à sa valeur en 2, qui vaut 4\ln(2)-1>0) et 2^2-2 = 2 > 0


C'est pas les méthodes niveau lycée qui manquent. Ne le prends pas comme une injure, mais je crois que tu es un peu fainéant sur les bords

Posté par
Ulmierere : Plus grand élément 04-02-20 à 19:36

Erratum : en remarquant que p\geqslant 2 \implies \forall n\in\N^\ast, p^n\geqslant 2^n

Posté par
Ulmierere : Plus grand élément 04-02-20 à 19:46

Erratum 2 : Attention au cas n = 2 si tu étudies sur sur [1,\infty) et non sur [2,\infty), tu auras compris ce que je voulais dire.

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 05-02-20 à 03:24

Ok merci, la récurrence c'est rapide !
La méthode avec le binôme aussi.

L'étude de fonction bof j'ai pas compris pourquoi vous étudiez cette fonction ni quel rapport avec ce qu'on veut démontrer y a même pas de p dans votre fonction.

Je vais essayer de vérifier les autres points.

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 05-02-20 à 03:45

matheuxmatou @ 04-02-2020 à 19:07


1 : établir que pn > n
2 : en déduire que pour tout k n , on a pk > n
3 : en déduire que pour tout entier k n , kAn,p
4 : en déduire que An,p [[0 ... (n-1)]]
5 : en déduire que An,p est majoré par n

ça va comme ça ?


Oui c'est très clair.

Le point 1 se vérifie par récurrence.
Par croissance de la fonction x \mapsto p^x on a :
k \geq n \implies p^k \geq p^n \implies p^k \geq n
Pour le point 3 :
\forall k \geq n \ \ p^k >n donc p^k ne peut pas diviser n. Ainsi k \geq n \implies k \notin A
Point 4 : contraposée du point 3.
Point 5 :
D'après 4, \forall k \in A \ k \leq n-1 \leq n

A est majoré par n.

Mais dans mon livre, ils disent que p^n \geq n alors que comme vous je trouve plus judicieux de montrer que p^n >n pour éviter de discuter le cas p^n =n dans le point 3.

Posté par
Ulmierere : Plus grand élément 05-02-20 à 12:47

Sauf que p^n > n est faux en toute généralité, à cause du cas p = n = 2.
L'idée de matheuxmatou est bonne pour p>2, mais pour p=2 il faut que tu réfléchisses un peu...

Posté par
Ulmierere : Plus grand élément 05-02-20 à 12:48

Ah non j'ai rien dit, ça marche aussi en p=n=2

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 05-02-20 à 16:43

ben oui Ulmiere  tu m'avais mis un doute mais non ! c'est toujours strict

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 05-02-20 à 16:59

Du coup merci @Matheux pour ces étapes détaillées

Posté par
XZ19re : Plus grand élément 05-02-20 à 17:06

La question que je me pose c'est qu'est ce que tu fais avec ton ensemble A, et est-ce que ça sert de montrer que  k\leq n?

Posté par Profil Ramanujanre : Plus grand élément 05-02-20 à 17:51

Bah oui.

A est majoré par n si et seulement si :

\forall x \in A \ \ x \leq n

Posté par
matheuxmatoure : Plus grand élément 05-02-20 à 17:55

XZ19
ça sert à montrer que A est majoré ... pour établir qu'il a un plus grand élément... la valuation de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.


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