Niveau Reprise d'études

Point critiques, minimiseurs globaux

Posté par
Jepoti213 01-05-21 à 15:49

Bonjour, je voudrai savoir si ce que j'ai fait est bon

Soit f une fonction de $R^2$ dans $R$ telle que $f(x,y)=2x^2+xy-y^2$
1) Déterminer les points critique de f.
2) Sous quelles hypothèses ces points sont des minimiseurs globaux de f?

1) D'après la règle de Fermat : tout minimiseur de f est un point critique de f.

$(x*,y*)$ minimiseur de f alors $\forall (h,k)^2 \in R^2, df(x*,y*)(h,k)=0$
Ici on doit trouver $\nabla f(x,y)=0$

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 4x+y$
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x-2y$

$\nabla f(x,y)=0$ ssi $(x*,y*)=(0,0)$

Donc (0,0) est point critique de f.

2) Si f est convexe alors tout minimiseur local de f est minimiseur global de f.

$\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2} = 4$
$\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2} = -2$
$\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial y \partial x} = 1$
$\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x \partial y} = 1$

Donc $Hess f(x,y) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix}$

Son polynome caractéristique est $X^2 -4X - 9$ et il a une valeur propre positive et une valeur propre négative donc la matrice hessienne n'est ni définie positive ni semi définie positive donc f n'est pas convexe.

Posté par re : Point critiques, minimiseurs globaux 01-05-21 à 17:12

bonjour,

je me trompe peut-être mais pour le polynôme caractéristique, je trouve X²-2X-9

Posté par re : Point critiques, minimiseurs globaux 02-05-21 à 11:33

Donc carrément si le polynome caractéristique n'a pas de solution réel donc la matrice n'est pas défini positive ni semi défini postive donc f n'est pas convexe ?

Posté par re : Point critiques, minimiseurs globaux 02-05-21 à 13:00

Si mes calculs sont bons ;

$\Delta= 4+4.9=40$ , positif donc deux racines réelles qui sont les valeurs propres de la matrice du Hessien et qui sont donc égales à :
$x_1=1-\sqrt{10} \quad et\quad x_2=1+\sqrt{10}$

ces deux racines sont de signes contraires donc on ne peut pas conclure.

Posté par re : Point critiques, minimiseurs globaux 02-05-21 à 13:23

Donc quelle est la réponse a la question 2) ?

Posté par re : Point critiques, minimiseurs globaux 02-05-21 à 14:02

la première étape c'est que qu'on ne peut pas conclure.
Pour les hypothèses pour conclure§?
remarquez que :
1-f(x,y) est symétrique
2-f(x,x)=0
3-f(-x,y)=f(x,-y)

regarder f le long des direction x=y et x=-y donc g(x)=f(x,x) et h(x)=f(x,-x)

Posté par re : Point critiques, minimiseurs globaux 02-05-21 à 17:43

Bonsoir,
je me doute qu'il s'agit d'un exercice portant sur le calcul du gradient et de la hessienne.

Mais si on n'a pas de réponse à partir de ces calcul on doit regarder la fonction de plus près.

Si on regarde yf(0,y), ou plus généralement yf(k,y), on voit que la fonction n'a pas de minimum global. $\lim_{y\to\pm\infty}-y^2=-\infty$

On peut voir aussi qu'il n'y a pas de maximum global en regardant xf(x,0).