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points et droites invariantes

Posté par
sgu35
09-07-21 à 18:45

Bonjour,
j'aimerais savoir ce que veut dire :
Une droite fixe point par point est invariante, la réciproque est fausse. Ceci est illustré par l'exemple de la translation qui n'a aucun point fixe mais une infinité de droites invariantes.

Posté par
carpediem
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 18:50

salut

ben oui que ne comprends-tu pas ?

si v est un vecteur directeur de d et t la translation de vecteur d alors t(d) = d et pourtant aucun point (de d) n'est fixe

tu peux aussi considérer une symétrie centrale s de centre un point de d et alors s(d) = d et à nouveau aucun point de d (sauf le centre de symétrie) n'est fixe par s

...

Posté par
sgu35
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 18:54

Citation :
si v est un vecteur directeur de d et t la translation de vecteur d alors t(d) = d et pourtant aucun point (de d) n'est fixe

C'est plutôt de vecteur v je pense

Posté par
matheuxmatou
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 18:58

bonjour

pour plusser ce que dit carpediem, je dirais qu'il faut distinguer "ensemble invariant point par point" et "ensemble globalement invariant"

Posté par
sgu35
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 19:00

Citation :
Une droite fixe point par point est invariante, la réciproque est fausse

Pourrais-tu me reformuler cette phrase?
car je ne vois pas ce qu'est la réciproque.

Pour
Citation :
Une droite fixe point par point est invariante

ça peut vouloir dire : si une droite est invariante, alors tous les points de cette droite sont invariants mais je ne suis pas sûr.

Posté par
matheuxmatou
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 19:06

la phrase signifie que :

si un ensemble E (ici une droite) est invariante point par point par une transformation f, c'est à dire que

x E ; f(x)=x

alors il est a fortiori globalement invariante

c'est à dire f(E) = E

Posté par
sgu35
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 19:10

et la réciproque serait :
si un ensemble E est globalement invariant, on ne peut pas dire que \forall x\in E, f(x)=x.

Posté par
matheuxmatou
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 19:12

prenons un exemple non géométrique

pour x non nul f(x)=1/x

E = {1;-1}

chaque élément de E est invariant par f

E est invariant point par point

et a fortiori : f(E)={f(1);f(-1)} = {1;-1}= E

donc E globalement invariant

maintenant prenons F={2 ; 1/2}

F n'est pas invariant point par point car f(2)2

par contre

f(F) = {f(2);f(1/2)} = {1/2 ; 2} = F

F est globalement invariant par f

Posté par
matheuxmatou
re : points et droites invariantes 09-07-21 à 19:13

oui, la réciproque est fausse



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