Bonjour, Camélia.

Quelques petites erreurs dans ton énoncé.

La propriété (ii) de la question 1 serait plutôt:



Pour la question 3:

Montrer que si C est une partie convexe fermée du plan R^2 l'ensemble de ses points extremaux est fermé.

(Il est indispensable de rajouter la condition "C fermée")

Pour la question 4:

Construire une partie convexe fermée C de R^3 dont l'ensemble des points extremaux n'est pas fermé.

(Ici, la condition "C fermée" n'est pas obligatoire, mais elle rend la question plus difficile).


En ce qui concerne l'orthographe:

Est-ce "extremal" ou "extrémal" ? Ou les deux orthographes sont-elles admises ?
(je ne sais pas répondre à cette question)

Bonjour perroquet

Pour (ii) tu as raison, quelque chose cloche. Je remplace donc (ii) par

(ii)

(Reste à voir si ça marche avec ce que tu proposes)

Pour le plan je croyais avoir une démonstration de la propriété sans supposer C fermée, mais je peux me tromper, donc je vais réfléchir encore.

Pour la question 4, mon exemple est effectivement fermé, mais ça ne m'a pas paru utile de l'imposer.

C'est probablement extrémal.

J'espère que maintenant ça va, et je demande l'indulgence du lecteur...

Bonjour Camélia et perroquet ;
pour rendre l'exercice plus intéressant
On munit de sa structure affine euclidienne canonique et on note l'ensemble des matrices bistochastiques c'est à dire l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont positifs ou nuls et dont la somme des coefficients de chaque ligne et chaque colonne vaut .
Prouver que est un compact convexe dont les points extrémaux sont les matrices de permutations

> Camélia

Si tu considères la boule unité de R^2 euclidien privée de (1,0), l'ensemble des points extrémaux de cet ensemble qui est convexe, est la sphère unité privée de (1,0), qui n'est pas un fermé. (sauf erreur de ma part)

Bonjour à tous les deux.

>perroquet Bien sûr tu as raison, C doit être fermé. En fait, ce que je démontrais est que l'ensemble des points extrémaux de C est fermé dans C, mais c'est moins intéressant...

>elhor Celle-là je ne la connaissais pas! Alors merci, je vais chercher...

Bonjour

Les participants à ce topic connaissent le sujet mieux que moi, mais pour ne pas laisser un exo sans réponse, je donne quand même quelques indications pour un éventuel lecteur.

1) non(i)non(ii)
Supposons C\{P} non convexe. Alors il existe M et N dans C\{P} tels que [MN] ne soit pas contenu dans C\{P}. Mais, C étant convexe, , donc la seule possibilité est P]MN[ et ceci entraine la négation de (ii).

(i)(ii)

Si M et P étaient distincts de P ils seraient dans le convexe C\{P}, le segment [MN] serait inclus dans celui-ci et P serait dans C\{P}!!


2) Si on prend P tel que d(A,P)N. Quitte à diminuer le segment on peut supposer que MP=PN. Mais alors, en utilisant la formule de la médiane, on obtient



et alors AP
3) Soit (P_n) une suite de points extremaux de C qui converge vers P. Comme C est fermée, P est dans C. S'il existe n tel que
P_n=P, c'est fini. On suppose donc que les P_n sont tous distincts de P. On veut montrer que P est extremal.

Supposons qu'il existe M et N dans C, distincts, tels que P]MN[. Alors il y a une infinité de P_n du même côté de la droite
MN et, quitte à extraire une suite, on peut supposer qu'ils y sont tous. Soit P_m différent de M et de N (ça existe).
Alors on peut aussi trouver un P_n dans l'intérieur du triangle MNP_m, et on pourrait trouver un segment joignant les côtés
MP_m et NP_m qui contiendrait P_n dans son intérieur. ceci est contradictoire avec le fait que P_n est extremal.

4) Mon exemple: Soient D le disque de rayon 1 de centre (1,0,0) situé dans le plan z=0, S son bord, P=(0,0,1) et P'=(0,0,-1). C est la réunion du cône
de base D et de sommet P et du cône de base D et de sommet P'. L'ensemble des points extremaux de C est


Reste l'ensemble [tex]{\cal M}[\tex] des matrices proposées par elhor (qui a l'air passionné par les matrices formées uniquement de 0 et de 1
Comme à chaque jour suffit sa peine, suite au prochain numéro!

Salut Camélia,

effectivement il restait pas un exo non résolu sur ces matrices d'ailleurs?

Salut Cauchy
Oui, il en restait même deux, celui de Cauchy qui voulait compter les matrices nilpotentes faites de 0 et de 1 et le mien qui voulais la même chose dans Z/2Z.

Bonjour ;

La preuve du est trés intéressante : " une infinité de sont d'un même côté de la droite ".
L'exemple du est trés astucieux.
Bravo Camélia

Merci pour le desssin elhor (et pour tes compliments!)

Je finirai par rédiger la réponse à ton histoire de matrices, mais j'hésite car j'ai l'impression que je n'utilise qu'une part des hypothèses sur les matrices bistochastiques et qu'en fait je travaille presque tout le temps dans les matrices dont les coefficients sont dans [0,1] (c'est-à-dire presque ). Je vais me relire, (j'ai déjà écrit pas mal de bêtises dans ce topic) et à bientôt!

Voici la fin de l'histoire!

D'abord je recopie l'énoncé d'elhor pour faciliter la lecture.

Citation :
On munit de sa structure affine euclidienne canonique et on note l'ensemble des matrices bistochastiques c'est à dire l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont positifs ou nuls et dont la somme des coefficients de chaque ligne et chaque colonne vaut 1.
Prouver que est un compact convexe dont les points extrémaux sont les matrices de permutations.

1,1<1 et que a_1,1 est minimal parmi les coefficients non nuls. Alors il existe j tel que 01,j<1 et on a 01,j-a_1,1/21,j+a_1,1/2. De même il existe i tel que 0i,1-a_1,1/2i,1+a_1,1/2<1. On a alors aussi 0i,j-a_1,1/2i,j+a_1,1/2<1. Soit M la matrice dont les seuls termes non nuls sont m_1,1=m_i,j=-a_1,1/2 et m_1,j=m_i,1=a_1,1/2. Enfin, soient B=A+M et C=A-M. Alors B et C sont dans et A est le milieu du segment [B,C] ce qui prouve que A n'est pas extremal.

(Sauf erreur, comme dit elhor).