Bonjour
Comme en ce moment il y a pas mal de géométrie affine...
On se place dans l'espace affine euclidien Rn. Soient C une partie convexe non vide et PC. On dit que P est un point
extremal de P si et seulement si C\{P} (C privé de P) est convexe.
1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) P est extremal
(ii)
2) Montrer que l'ensemble des points extremaux d'une boule fermée B(A,r) est la sphère S(A,r).
3) Montrer que si C est une partie convexe du plan R2 l'ensemble de ses points extremaux est fermé.
4) Construire une partie convexe C de R3 dont l'ensemble des points extremaux n'est pas fermé.
Bonjour, Camélia.
Quelques petites erreurs dans ton énoncé.
La propriété (ii) de la question 1 serait plutôt:
Pour la question 3:
Montrer que si C est une partie convexe fermée du plan R^2 l'ensemble de ses points extremaux est fermé.
(Il est indispensable de rajouter la condition "C fermée")
Pour la question 4:
Construire une partie convexe fermée C de R^3 dont l'ensemble des points extremaux n'est pas fermé.
(Ici, la condition "C fermée" n'est pas obligatoire, mais elle rend la question plus difficile).
En ce qui concerne l'orthographe:
Est-ce "extremal" ou "extrémal" ? Ou les deux orthographes sont-elles admises ?
(je ne sais pas répondre à cette question)
Bonjour perroquet
Pour (ii) tu as raison, quelque chose cloche. Je remplace donc (ii) par
(ii)
(Reste à voir si ça marche avec ce que tu proposes)
Pour le plan je croyais avoir une démonstration de la propriété sans supposer C fermée, mais je peux me tromper, donc je vais réfléchir encore.
Pour la question 4, mon exemple est effectivement fermé, mais ça ne m'a pas paru utile de l'imposer.
C'est probablement extrémal.
J'espère que maintenant ça va, et je demande l'indulgence du lecteur...
Bonjour Camélia et perroquet ;
pour rendre l'exercice plus intéressant
On munit de sa structure affine euclidienne canonique et on note l'ensemble des matrices bistochastiques c'est à dire l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont positifs ou nuls et dont la somme des coefficients de chaque ligne et chaque colonne vaut .
Prouver que est un compact convexe dont les points extrémaux sont les matrices de permutations
> Camélia
Si tu considères la boule unité de R^2 euclidien privée de (1,0), l'ensemble des points extrémaux de cet ensemble qui est convexe, est la sphère unité privée de (1,0), qui n'est pas un fermé. (sauf erreur de ma part)
Bonjour à tous les deux.
>perroquet Bien sûr tu as raison, C doit être fermé. En fait, ce que je démontrais est que l'ensemble des points extrémaux de C est fermé dans C, mais c'est moins intéressant...
>elhor Celle-là je ne la connaissais pas! Alors merci, je vais chercher...
Bonjour
Les participants à ce topic connaissent le sujet mieux que moi, mais pour ne pas laisser un exo sans réponse, je donne quand même quelques indications pour un éventuel lecteur.
1) non(i)non(ii)
Supposons C\{P} non convexe. Alors il existe M et N dans C\{P} tels que [MN] ne soit pas contenu dans C\{P}. Mais, C étant convexe, , donc la seule possibilité est P]MN[ et ceci entraine la négation de (ii).
(i)(ii)
Si M et P étaient distincts de P ils seraient dans le convexe C\{P}, le segment [MN] serait inclus dans celui-ci et P serait dans C\{P}!!
2) Si on prend P tel que d(A,P)
et alors AP
3) Soit (Pn) une suite de points extremaux de C qui converge vers P. Comme C est fermée, P est dans C. S'il existe n tel que
Pn=P, c'est fini. On suppose donc que les Pn sont tous distincts de P. On veut montrer que P est extremal.
Supposons qu'il existe M et N dans C, distincts, tels que P]MN[. Alors il y a une infinité de Pn du même côté de la droite
MN et, quitte à extraire une suite, on peut supposer qu'ils y sont tous. Soit Pm différent de M et de N (ça existe).
Alors on peut aussi trouver un Pn dans l'intérieur du triangle MNPm, et on pourrait trouver un segment joignant les côtés
MPm et NPm qui contiendrait Pn dans son intérieur. ceci est contradictoire avec le fait que Pn est extremal.
4) Mon exemple: Soient D le disque de rayon 1 de centre (1,0,0) situé dans le plan z=0, S son bord, P=(0,0,1) et P'=(0,0,-1). C est la réunion du cône
de base D et de sommet P et du cône de base D et de sommet P'. L'ensemble des points extremaux de C est
Reste l'ensemble [tex]{\cal M}[\tex] des matrices proposées par elhor (qui a l'air passionné par les matrices formées uniquement de 0 et de 1
Comme à chaque jour suffit sa peine, suite au prochain numéro!
Salut Cauchy
Oui, il en restait même deux, celui de Cauchy qui voulait compter les matrices nilpotentes faites de 0 et de 1 et le mien qui voulais la même chose dans Z/2Z.
Bonjour ;
La preuve du est trés intéressante : " une infinité de sont d'un même côté de la droite ".
L'exemple du est trés astucieux.
Bravo Camélia
Merci pour le desssin elhor (et pour tes compliments!)
Je finirai par rédiger la réponse à ton histoire de matrices, mais j'hésite car j'ai l'impression que je n'utilise qu'une part des hypothèses sur les matrices bistochastiques et qu'en fait je travaille presque tout le temps dans les matrices dont les coefficients sont dans [0,1] (c'est-à-dire presque ). Je vais me relire, (j'ai déjà écrit pas mal de bêtises dans ce topic) et à bientôt!
Voici la fin de l'histoire!
D'abord je recopie l'énoncé d'elhor pour faciliter la lecture.
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