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Poly annulateur et digonalisibilité

Posté par
gui_tou 11-07-09 à 13:49

Bonjour, (pas facile à écrire le titre)

J'aimerais avoir un avis sur cet exo :

Citation :

Soit 3$A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) vérifiant 3$A^4=A^2 et 3$\rm{Sp}(A)\in\{-1,1\}. Montrer que 3$A est diagonalisable.


Le poly 3$X^4-X^2=X^2(X+1)(X-1) est un polynôme annulateur de A, donc il est multiple du polynôme minimal de A.
Or 0 n'est pas valeur propre de A, ce dernier est donc égal à (X+1),(X-1) ou (X+1)(X-1).
Dans tous les cas, il est scindé à racines simples, donc A est diagonalisable.

Mais bon j'ai pas le droit au poly minimal, et j'arrive pas à m'en sortir sans.
Zavez une piste ?

Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Poly annulateur et digonalisibilité 11-07-09 à 14:10

Salut guigui

Avec le polynôme minimal c'est la méthode la lus directe mais bon ..

Bah, A est essentiellement inversible (0 n'est pas vap) ainsi en simplifiant 3$ A^2=I_3

3$ (X-1)(X+1) est alors annulateur.

Avec le lemme des noyaux: 3$ E=SEP(A,1)\oplus SEP(A,-1)

A est donc diagonalisable (E est exactement la somme qui est directe des SEP de A)

Posté par
gui_toure : Poly annulateur et digonalisibilité 11-07-09 à 14:13

Salut Mohamed

Spleeeeeeendiiiiiiiiiiide ! Merci beaucoup, je n'ai pas encore l'habitude de simplifier quand la matrice est inversible

Posté par
1 Schumi 1re : Poly annulateur et digonalisibilité 11-07-09 à 14:14

On peut conclure plus simplement: A²=Id, donc A est la matrice d'une symétrie... donc ben c'est fini.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Poly annulateur et digonalisibilité 11-07-09 à 14:15

Pas de prob

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Poly annulateur et digonalisibilité 11-07-09 à 14:15

Eh oui c'est vrai Ayoub !

Posté par
gui_toure : Poly annulateur et digonalisibilité 11-07-09 à 14:17

Salut Ayoub

Oui oui une fois qu'on a A²=Id ça va plus vite ^^


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