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polynome
Soit P=X^n+⋯+a(n−1)X+an un polynôme à coefficients réels scindé à racines simples .
Soit Q=X^n+⋯+bn−1X+bn un polynôme à coefficients réels .
Montrer que si les bi sont assez proches des ai alors Q est scindé à racines simples.
Bonjour
Une idée qui ne mènera peut-être à rien, mais ça me fait penser à de la continuité.
J'essaierais bien de mettre la dedans deux matrices dont ces polynômes sont les polynômes caractéristiques, avec une norme bien choisie
Bonjour lafol, les relations coefficients racines plus ton argument de continuité ne suffisent pas ?
Sans doute que si. Je n'ai pas de papier crayon sous la main et je suis nulle pour réfléchir vraiment sans écrire 
Hi !
Je vote pour l'idée de lafol en précisant plutôt ... avec forme bien choisie (vu que toutes les normes sont équivalentes dans ce cas précis)
Bonjour
Si a 
Knet ap 
aq si p q et A := (X - a1)....(X - an)
Il existe r > 0 tel que ap + r aq + r si p q .
ou ...)Bonjour à tous.
Notons les racines de
.
Notons ,
et pour
:
.
Il est classique que:
On considère maintenant les applications
de
dans
définies par:
.
Toutes les applications sont continues et "pour tout polynôme
suffisamment proche de
", les quantités
sont strictement négatives. Il résulte du théorème des valeurs intermédiaires que
s'annule sur chaque intervalle
. On en déduit que
est scindé sur
, à racines simples.
Il aurait été bien de préciser dans l'énoncé que les racines de P sont réelles ...
Le résultat reste vraie si les racines sont complexes mais c'est plus subtil ...
On se donne n un entier > 1 et on désigne par V l'ensemble des a de 
n tels que Xn + a1X + ⋯+ an−1X + an ait n racines simples .
Soient par ailleurs sn,p ( p = 1 , 2 , ..., n) les "fonctions symétriques élémentaires .
Pour r n on a donc :
sn,1(r) = r1 + r2+....+rn
sn,2(r) = 
j<k rjrk
.....
sn,n(r) = r1.r2......rn .
..Je pose W : = { r n │ rj < rk si j < k } . C'est un ouvert de n .
..Soit F = (-sn,1 , sn,2,....,(-1)nsn,n)): W 
[X] , r 
(-sn,1(r) , sn,2(r),....,(-1)nsn,n)(r) .
F est bijective et C
de W sur V .
Pour voir que W et V sont homéomorphe il suffit de montrer que pour tout r de W la matrice jacobienne Jn(r) est inversible .
Or, sauf erreur , |det(Jn(r)| = 
j>k
(r j - rk ) > 0 .
Bonjour ,
il me semble que le cas réel a été correctement traité par perroquet (que je salue
)
je traite le cas complexe (comme l'a fait remarquer Zrun
)
Soit alors un polynôme à racines simples.
ce qui veut dire que le polynôme et son polynôme dérivé
n'ont pas de racine commune dans
et
sont donc premiers entre eux , ce qui se traduit par l'existence de deux polynômes complexes
et
tels que
pour tout polynôme on peut alors écrire
et comme
on voit que si est suffisamment proche de
pour
, alors pour tout nombre complexe
,
les expressions ,
peuvent être aussi petites (en module) que l'on veut , plus précisément si on note ,
on a pour tout complexe ,
et ainsi on voit que si est suffisamment proche de
, il ne peut admettre de racine multiple
, car alors on aurait
sauf erreur bien entendu
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