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polynome caractéristique
Bonjour,
j'ai un problème avec le début d'un exercice sur le polynome caractéristique:
z nombre complexe
on a C=(e1,e2,..en)la base canonique de M n,1(C)
A appartient à M n(C)
on note les vecteurs C1,...Cn les vecteurs colonnes de A
il faut alors exprimer en fonction des Ci, et des ei et de z les vecteurs colonnes de la matrice A-zIn
je n'arrive pas à voir par où je dois commencer.
merci d'avance
Oui j'ai essayé sur un exemple ce qui était demandé dans la toute première question mais avec l'exemple la question portait plus sur la vérification qu'il s'agissait d'une fonction polynomiale de degré trois en z.
la ième colonne de zIn est z*le ième vecteur colonne de la base canonique de Rn,non?
Oui ca fait ze_i donc si Ci est le ième vecteur colonne de A,que vaut le i-ème vecteur colonne de A-zIn?
je crois comprendre, le ième vecteur colonne de A-zIn serait alors Ci-zei
mais alors si on souhaite déduire de cela que det (A-zIn) est une fonction polynomiale de degré n
en partant de det (A-zIn)= det (C1-ze1,...,Ci-zei,..Cn-zen)
comment calculer det(A-zIn) pour connaitre son degré?
Merci
Bonjour,
j'ai un problème un exercice sur le polynome caractéristique:
z nombre complexe
on a C=(e1,e2,..en)la base canonique de M n,1(C)
A appartient à M n(C)
on note les vecteurs C1,...Cn les vecteurs colonnes de A
on a déjà montré que les vecteurs colonnes d ela matrice A-zIn sont: (C1-ze1,...,Ci-zei,..Cn-zen)
on en déduire de cela que:
det (A-zIn) est une fonction polynomiale de degré n
en partant de det (A-zIn)= det (C1-ze1,...,Ci-zei,..Cn-zen)
comment calculer det(A-zIn) pour connaitre son degré?
merci
*** message déplacé ***
Bonjour Marie :
1 problème = 1 topic
Tu aurais du continuer ici :
polynome caractéristique
...
*** message déplacé ***
le déterminant de A est le déterminant de la famille conctituée par les vecteurs colonnes de A
Tu as ceci:
Sur ta matrice on voit tout de suite que tu as un polynome en z,il est de degré n car dans ta somme le terme ou la permutation est l'identité vaut:
(a11-z)(a22-z)...(ann-z).
il m'est ensuite demandé de calculer le terme en degré n, qui est alors: (-1)^n, mais par un raisonnement anlogie je dois montrer que le coefficient du terme de degré 1 est égale à la trace de c(A) où c(A) est la comatrice de A, (A appartient à Mn(C)), je pense que la trace signifie la somme de la diagonale de la c(A) mais je n'arrive à calculer c(A) afin de montrer que la trace de c(A)= -(a11*a33*..ann+ a11a22a44..ann+...+a11..a(n-1,n-1)+ a22*a33*...*ann)
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