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Niveau Reprise d'études
Polynôme caractéristique d'une matrice sur C
Posté par mikel83
Bonjour à tous!
Comment démontrer que toute matrice A sur C a un polynôme caractéristique qui possède au moins un zéro (complexe) ?
Bonsoir,
Posée telle quelle, cette question est essentiellement le Théorème fondamental de l'algèbre....
Il faut aussi s'assurer que le "polynôme caractéristique" est bien un polynôme....
Je ne vois pas trop ce que ça change à la question....
Pourrait-on en savoir plus sur le contexte de la question...?
Je travaille actuellement sur le Gourgoulhon, ma "bible" de la Relativité Restreinte, et cette propriété est utilisée p 253 dont voici un extrait:
7.4.5 Existence de vecteurs propres lumière
Une application intéressante du revêtement de SOo (3,1) par SL(2,ℂ) est la preuve de l'existence d'un vecteur propre du genre lumière pour toute transformation de Lorentz restreinte, propriété que nous avons utilisée comme point de départ de la classification des transformations de Lorentz au § 6.3.
Considérons en effet Λ∈SO_o (3,1) tel que Λ=S(A) .Puisque A est une matrice sur C , son polynôme caractéristique possède au moins un zéro (complexe), ce qui signifie que A admet au moins une valeur propre μ∈C . On a nécessairement μ≠0 car detA=1 .....
Oui c'est bien ça; il s'appuie sur le Théorème fondamental de l'Algèbre: Tout polynôme à coefficients dans admet une racine complexe.
Merci pour ta réponse!
C'est le théorème de D'Alembert-Gauss que tu cites ?
Il indique "que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine" Ok, je connaissais ; mais il ne précise pas si la racine est complexe.
Donc je cherchais à savoir s'il existait une condition qui imposerait à une des racines d'appartenir à C ?
Bonjour,
Le théorème de d'Alembert-Gauss, énoncé correctement, dit que tout polynôme non constant à coefficients dans a une racine dans
.
OK! Merci pour la précision ...
Il me restait de mes souvenirs lointains que "tout polynôme de degré n possédait n racines " sans savoir si elles étaient réelles ou complexes!
Merci à tous pour vos réponses
Cordialement, Mikel.
Un nombre réel est aussi un nombre complexe. "Avoir une racine dans " ne veut pas dire "Avoir une racine dans
.
Effectivement!
Et c'est bien l'ambiguïté dans mon texte: que sous entend le terme (complexe) ? Personnellement, je l'interprète comme C / R ???
Interprétation fautive : un nombre complexe, c'est tout simplement un élément de .
Selon toi, un nombre rationnel serait un élément de ?