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Niveau Reprise d'études
polynôme complexe de degré 3
Posté par jojofip
Bonsoir à tous,
Actuellement en reprise d'étude je bloque sur la résolution de cette équation :
2z3-(5+10i)z²+(-13+17i)z+24-3i=0
Je suis parti en essayant de factoriser pour réduire sous la forme:
(ax+b)(ax²+bx+c)
Pas de possibilité
Maintenant j'ai factorisé par z ce qui donne:
z(2z²-(5+10i)z+(-13+17i))+24-3i=0
Mais je ne sais si je vais dans la bonne direction
Un petit d'aide dans la démarche de résolution ne serait pas de refus
Merci
Bonsoir,
Supposons une racine réelle,cela donne un complexe
r un complexe est nul si sa partie reelle est nulle et imaginaire est nulle.
Ce qui donnera si on annule la partie imaginaire l'équation -10i*z^2+17i*z-3i=0 soit
-10*z^2+17*z-3=0, on trouvera 2 solutions mais laquelle convient ? je vous laisse continuer.
Bonjour
En général sauf cas particuliers une équation du troisième degré avec coefficients complexes c'est particulièrement difficile.
Donc il y anguille sous roche. C'est à dire une je chercherai bien une solution reélle ou bien imaginaire pure.
Donc tu poses z=x (ou z=ix) , x est réel.
Si on est dans cette situation ça va se voir. et tu aura gagné une racine.
Bonjour jojofip.
L'énoncé précise probablement que l'équation que tu as à résoudre admet une solution réelle.
Si ce n'est pas le cas: on cherche si l'équation admet une solution réelle.
Soit x une solution réelle de l'équation. En considérant la partie réelle et la partie imaginaire:
et
Il faut commencer par résoudre la seconde équation, on obtient deux solutions qu'on note et
. On vérifie que
ou
est solution de la première équation. On a donc trouvé une solution réelle
de l'équation de départ.
Pour déterminer les deux autres solutions, on factorise par .
Bonsoir, ThierryPoma.
Maple m'a donné les solutions de cette équation.
L'une d'entre elles est effectivement réelle.
Bonsoir,
Merci pour vos réponses même si je n'ai pas très bien compris ce que je devais faire une fois les solutions des polynômes trouvé
x1=
x2=
x3=
x1=
x1=
Donc je vois que j'ai une racine réelle qui est mais je ne sais pas comment poursuivre
Pour poursuivre c'est simple mais un peu calculatoire:
Je désigne par "p(z)" ton polynôme de degré 3.
Comme z=3/2 est une racine de p alors p se met sous la forme
p(z)=(z-3/2) q(z)
où q est un polynôme de degré 2.
Il faut calculer q et puis comme c'est un polynôme de degré 2 on a des formules qui donne ses racines.
J'ai un doute sur ce résultat.
On a ainsi z2 + z3 = 0 .
Or la somme des racines du trinôme n'est pas nulle . . ..