Bonjour, tu remplaces x par 2 dans l'équation pour montrer que 2 est racine (et comment l'as tu trouvée ?)

Maintenant tu peux factoriser par (x-2)  

Tu écris

x³+3x²-6x-8 = (x-2)(x²+bx+c)

tu effectues et tu trouves b et c (a=1, pas besoin de chercher)

puis tu factorises le trinôme trouvé.

merci mais justement est ce que je ne suis pas censé trouver 2 par un calcul?

Bonjour marillia,

Bonjour
Quand il y a une racine évidente, on est supposé la trouver en essayant. On essaye 1  2  3  -1  -2  -3

Ensuite on factorise par x-x₁

bonjour à tous,
salut borneo, les racines entieres qu'ils faut chercher doivent etre diviseurs du terme constant qui ets 8 donc le  3 et le -3 ne doivent pas etre essayés

une autre methode pour trouver les autres racines une fois l'une est trouvee est la division euclidienne

les racines entieres qu'ils faut chercher doivent etre diviseurs du terme constant qui ets 8 donc le  3 et le -3 ne doivent pas etre essayés
je m'explique
supposons que ts les coefficients sont entiers (qu'ils soient ceux de P(x) ou de Q(X) qu'on obtient plutard)
et racine entiere du polynome P(x)=a_nxⁿ+ --- + a₂x² + a₁x + a₀
donc P(x)=(x-)Q(x) si on redeveloppe P(x) le a₀ est en effet le produit de par le etrme de Q(x) qui est entier d'apres l'hypothese
donc est suppose etre diviseur de a₀
mais tout cela est dans le cas particulier ou on considere tous les coeffcients et la racine des entiers

Bonjour,

je profite du message posté par Nikole à 11h09 pour ajouter que de façon génarale, les racines rationnelles p/q d'un polynôme à coefficients entiers

anX^n + ... + a1X + a0

sont telles que p divise a0 et q divise an.

Sinon, pour répondre précisément à la question initiale de marillia, il existe bien des formules(dépendant des coefficients a0, a1 etc...) donnant les racines d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 4, mais pas au-delà.
De plus elles ne sont pas au programme de Terminale.
(Par exemple si le degré est inférieur ou égal à 2, tu as vu les formules en Première)

Tigweg

salut Tigweg
peux tu seulement m'expliquer les racines rationnelles p/q d'un polynôme à coefficients entiers

anX^n + ... + a1X + a0

sont telles que p divise a0 et q divise an.
j'ai pas bien compris pourquoi
si je considere P(x) comme je l'ai donné
p/q une racine rationnelle
(x-p/q)(b_n-1x^n-1+---+b₁x+b₀)=a_nxⁿ+---+a₀
donc b_n-1=a_n n'est ce pas?
ou je me trompe
pour la deuxieme j'ai compris
en effet le terme constant a₀=pb₀/q donc pb₀=a₀q donc p divise a₀ (si b₀ et a₀ sont premiers entre eux)
je ressens qu'il faut aller revoir mon cours de l'univ mais si tupeux un peu me l'expliquer je t'en serai reconnaissante
merci

Bonjour Nikole, dans mes exemples, je ne pensais pas à cet exo, mais au cas général.
Un autre truc quand on bloque pour trouver une racine évidente (si on ne la trouve pas aussi évidente que ça) c'est de tracer la courbe, et de faire comme si on l'avait trouvée par tatonnements.

Salut Nikole,

suppose que P/Q soit racine du polynôme, avec P et Q premiers entre eux (je réalise en refaisant la démo que c'est nécessaire Bien sûr, on ne perd rien en généralité)

Alors An P^n + An-1 P^(n-1) Q + ... + A0 Q^n = 0

en multipliant par Q^n dans chaque membre.
Cela s'écrit aussi

P( An P^(n-1) + ... +A1 Q^(n-1)) = - A0 Q^n,

d'où P divise (dans Z) A0 Q^n.
Comme P et Q sont premiers entre eux, cela implique P | A0.

symétriquement, en mettant Q en facteur partout où c'est possible et en isolant le terme restant, on prouverait: Q | An .

Pour aider marillia, le plus simple à mon avis est d'écrire

x³+3x²-6x-8 = (x-2)(x²+bx+c)

= x³+bx²+cx-2x²-2bx-2c

= x³+(b-2)x²+(c-2b)x-2c

on veut que les deux polynômes soient égaux, donc

b-2 = 3  donc b=5

-2c = -8 donc c=4

x³+3x²-6x-8 = (x-2)(x²+5x+4)

Il nous reste à factoriser x²+5x+4 par la méthode du discriminant.

Et maintenant que j'ai trouvé la solution, je peux dire à marilla qu'il y a une autre racine encore plus évidente que 2

On peut donc factoriser par deux racines évidentes, c'est bien plus rapide

x³+3x²-6x-8 = (x-2)(x-x₂)(ax+b)   --> ici a = 1

on trouve x₂ (la 2e racine évidente) et on trouve b sans même avoir à développer car (-2)(x₂)*b = -8

Voilà

lol bornéo

Il y a des gens qui voient des racines évidentes de -5 ou +4 du 1er coup d'oeil. Moi, je peux passer à côté d'une racine à -1

Mais pas sinequanon

Salut et merci,
mais reste une petite question Tigweg
d'où P divise (dans Z) A0 Q^n. tu veux dire dans Z ou ds N?
quant a la suite de la resolution de borneo de l'exo proposé, tu peux remarquer marillia le cas pparticulier du trinome du second degre obtenu 1+4=5, ou bien a+c=b
d'ou l'une des racines est -1 l'autre est -c/a

Je t'en prie Nikole

En fait ce n'est que dans Z, on ne sait pas si p et q seront positifs (pense au cas des racines évidentes négatives).C'est mieux, on balaie plus de possibilités que si cela se limitait à N

Je parle de p et de q séparément : ils sont dan Z.
Leur quotient est, bien sûr, rationnel, et cette méthode te permet de dénicher toutes les racines rationnelles(positives comme négatives, donc) de tout polynôme à coefficients entiers RELATIFS (et même rationnels, puisqu'il suffit de multiplier chaque membre par un même nombre pour se ramener au cas précédent)

dans*

oups je m'excuse je m'etais trompee entre Z et Q

Ah...Du coup je ne comprends plus ta question, Nikole

je m'explique
a lire Z j'ai cru que c'etais Q
donc que la division devais se faire dans Q ce qui est etrange,
j'ai considéré que Z l'ensemble des rationnels et non pas des entiers relatifs, une erreur de ma part

tu as tout a fait raison, ta demo est bien claire, c'est moi qui m'etais confuse

OK, pas de problème Nikole